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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 29

Use os resultados do Exercício 28 e do Exercício 21 da Seção 6.4 para mostrar que a área S da superfície gerada quando a curva y = sec ⁡ x ,   0 ≤ x ≤ π 3 gira em torno do eixo x   satisfaz

2 π 2 3 ≤ S ≤ 4 π 2 3 13

Passo 1

Vamos reunir as informações que o enunciado deu:

Temos a relação do exercício anterior:

2 π k L ≤ S ≤ 2 π K L

E do exercício 21 da Seção 6.4, para as condições dadas, temos que para o comprimento da curva segue:

π 3 ≤ L ≤ π 3 13

Precisamos usar essas informações para provar que a área da superfície descrita no enunciado segue a relação:

2 π 2 3 ≤ S ≤ 4 π 2 3 13

Vamos refletir!

Passo 2

A gente pode ver que no intervalo 0 ≤ x ≤ π 3 , a nossa função sec ⁡ x é sempre crescente (olhando o sinal da derivada no intervalo, por exemplo), e por isso vemos que nesse intervalo ela tem como valor mínimo:

k = sec ⁡ 0 = 1

E máximo:

k = sec ⁡ π 3 = 2

Pela relação do exercício anterior:

2 π k L ≤ S ≤ 2 π K L

2 π L ≤ S ≤ 4 π L

Passo 3

Nós temos dois valores para L , certo? Um máximo e um mínimo:

π 3 ≤ L ≤ π 3 13

Podemos substituir esses dois valores e montar dois conjuntos de inequações diferentes. Para L 1 = π 3 :

2 π 2 3 ≤ S ≤ 4 π 2 3

Para L 2 = π 3 13 :

2 π 2 13 3 ≤ S ≤ 4 π 2 13 3

Agora repara que por esses dois conjuntos, o menor valor que limita S é 2 π 2 3 e o maior valor que limita S é 4 π 2 13 3 . Por isso podemos dizer que:

2 π 2 3 ≤ S ≤ 4 π 2 13 3

Que que onde precisávamos chegar! Uhul!

Resposta

Prova desenvolvida nos passos.

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