A área da superfície lateral (lado) de um cone de altura h e raio de base r deveria ser pi * r * raiz(r^2 + h^2) o semiperímetro da base vezes a altura inclinada. Demonstre que isso continua sendo verdade quando se determina a área da superfície gerada pela rotação do segmento de reta y = (r / h) x, 0 ≤ x ≤ h , em torno do eixo x .

Passo 1

Por definição temos que se a função f x ≥ 0   é continuamente derivável em [ a , b ] , a área da superfície gerada pela rotação da curva y = f ( x ) em torno do eixo x é:

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2   d x

Assim :

S = ∫ 0 h 2 π r h x   1 + r h 2   d x = 2 π r h ∫ 0 h x   h 2 + r 2 h = 2 π r h 2 + r 2 h 2   x 2 2 h 0 =

= 2 π r h 2 + r 2   h 2 × h 2 2 = π r h 2 + r 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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