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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.4 - Ex. 26

A área da superfície lateral (lado) de um cone de altura h e raio de base r deveria ser π r   r 2 + h 2 ,   o semiperímetro da base vezes a altura inclinada. Demonstre que isso continua sendo verdade quando se determina a área da superfície gerada pela rotação do segmento de reta y = r h x ,   0 ≤ x ≤ h , em torno do eixo x .

Passo 1

Por definição temos que se a função f x ≥ 0   é continuamente derivável em [ a , b ] , a área da superfície gerada pela rotação da curva y = f ( x ) em torno do eixo x é:

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2   d x

Assim :

S = ∫ 0 h 2 π r h x   1 + r h 2   d x = 2 π r h ∫ 0 h x   h 2 + r 2 h = 2 π r h 2 + r 2 h 2   x 2 2 h 0 =

= 2 π r h 2 + r 2   h 2 × h 2 2 = π r h 2 + r 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule a área de superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x , do gráfico da função dada. d )y = x , 1 ≤ x ≤ 4
Calcule a área de superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x , do gráfico da função dada. b )f x = R 2 - x 2 ,- R ≤ x ≤ R ( R0 )
Calcule a área de superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x , do gráfico da função dada. a )f x = e x + e - x 2 , - 1 ≤ x ≤ 1
Seja f com derivada contínua em a , b e seja P : a = x 0x 1x 2… x n = b uma partição de a ,b . Indique por L P o comprimento da poligonal de vértices ( x 0 ,f ( x 0 ) ) ,( x 1 ,f ( x 1 ) ) ,… ,( x n ,
Calcule a área de superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x , do gráfico da função dada. c )y = x 2 ,0 ≤ x ≤ 1 2