Você sabia que se cortar um filão de pão esférico em fatias de igual largura cada fatia terá a mesma quantidade de casca? Para saber o porquê disso, suponha que o semicírculo y = raiz(r^2 - x^2) mostrado a seguir girado em torno do eixo x para gerar uma esfera. Seja A B um arco desse semicírculo que se encontra acima de um intervalo de comprimento h no eixo x . Demonstre que a área gerada por A B não depende da localização do intervalo. (Depende apenas do comprimento do intervalo.)

Passo 1

Para essa questão calcularemos a área da curva dada em torno do eixo x , considerando os limites de integração como a   e   a + h , ou seja, o comprimento do intervalo. A área da superfície gerada ao rotacionar a curva em torno do eixo x é dada por:

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2   d x

Assim, temos que:

S = ∫ a a + h 2 π r 2 - x 2   1 + - x r 2 - x 2 2 d x =  

=   2 π ∫ a a + h r 2 - x 2   r 2 - x 2 + x 2 r 2 - x 2   d x = 2 π ∫ a a + h r   d y = 2 π r y a + h a =

= 2 π r a + h - a = 2 π r h

Portanto o resultado final mostra que a área gerada por A B   depende somente de h que é o comprimento do intervalo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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