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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.4 - Ex. 25

Demonstre que a área da superfície de uma esfera de raio a   ainda é 4 π a 2 usando a Equação 3 para determinar a área da superfície gerada pela rotação da curva y = a 2 - x 2   ,

- a ≤ x ≤   a , em torno do eixo x .

Passo 1

Por definição temos que se a função f x ≥ 0   é continuamente derivável em [ a , b ] , a área da superfície gerada pela rotação da curva y = f ( x ) em torno do eixo x é:

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2   d x

Assim :

S = ∫ - a a 2 π   a 2 - x 2   1 + - x a 2 - x 2 2   d x =    

= 2 π ∫ - a a a 2 - x 2 a 2 - x 2 + x 2 a 2 - x 2   d x = 2 π ∫ - a a a   d x = 2 π a x a - a = 2 π a a - - a =

= 4 π a 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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