Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.5 - Ex. 12
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.
Passo 1
A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva.
Assim, precisaremos encontrar:
O domínio da função, que são os valores que o pode assumir.
As interseção com eixos, que são os valores de quando e de quando .
Limites no infinito, onde faremos:
Intervalos de crescimento e os pontos críticos, onde analisaremos o sinal da derivada da função, fazendo:
Fazer um estuda da concavidade
E qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.
Então vem ver tudo isso.
Passo 2
Vamos começar procurando o domínio da função, que são os valores que o pode assumir.
Perceba que sendo nossa função dada por:
como o denominador não pode se anular, devemos ter
Assim,
Desta forma, o domínio da função
Passo 3
Para encontrar as interseção com eixos, vamos procurar os valores de quando e de quando .
Assim, no eixo , teremos:
E no eixo , teremos:
O que só acontece se .
Com isso, a única interseção com os eixos coordenados ocorre em .
Passo 4
Agora observe que a função é ímpar, pois
Portanto, a curva é simétrica em relação à origem.
Passo 5
Vamos agora procurar possíveis assíntotas. Para indo para :
Assim, tanto para como para , a reta é a assíntota horizontal da função.
Como tanto como não estão no domínio da função, temos que verificar se a curva tem assíntotas verticais nesses pontos. Para :
Analogamente, para :
Assim, as retas e são assíntotas verticais da curva.
Passo 6
Vamos estudar agora os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Calculando a primeira derivada. Sendo
Sua derivada será calculada usando a regra do quociente. Onde
E
Onde
com
E
com
Então, nossa derivada será:
Como
e
Temos que
de modo que a função será sempre decrescente em todo o seu domínio.
Passo 7
Por fim, vamos analisar a concavidade da curva. Fazendo a segunda derivada:
Assim,
Como , apenas o denominador vai importar para o sinal de :
Agora com todas essas informações, podemos desenhar o gráfico da função.
Resposta
O esboço da curva:
