Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = x / (x^2 - 9)

Passo 1

A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva.

y = x x 2 - 9

Assim, precisaremos encontrar:

O domínio da função, que são os valores que o x pode assumir.

As interseção com eixos, que são os valores de x quando y = 0 e de y quando x = 0 .

Limites no infinito, onde faremos:

x x 2 - 9  

Intervalos de crescimento e os pontos críticos, onde analisaremos o sinal da derivada da função, fazendo:

Fazer um estuda da concavidade

E qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.

Então vem ver tudo isso.

Passo 2

Vamos começar procurando o domínio da função, que são os valores que o x pode assumir.

Perceba que sendo nossa função dada por:

y = x x 2 - 9

como o denominador não pode se anular, devemos ter

x 2 - 9 ≠ 0

Assim,

x ≠ ± 3

Desta forma, o domínio da função

D f = R - { - 3,3 }

Passo 3

Para encontrar as interseção com eixos, vamos procurar os valores de x quando y = 0 e de y quando x = 0 .

Assim, no eixo y , teremos:

y = 0 0 2 - 9 = 0

E no eixo x , teremos:

0 = x x 2 - 9

O que só acontece se x = 0 .

Com isso, a única interseção com os eixos coordenados ocorre em ( 0,0 ) .

Passo 4

Agora observe que a função é ímpar, pois

f - x = - x - x 2 - 9 = - x x 2 - 9 = - f ( x )

Portanto, a curva é simétrica em relação à origem.

Passo 5

Vamos agora procurar possíveis assíntotas. Para x indo para ± ∞ :

x x 2 - 9   = x x 2 - 9   = 0

Assim, tanto para - ∞ como para + ∞ , a reta y = 0 é a assíntota horizontal da função.

Como tanto x = - 3 como x = 3 não estão no domínio da função, temos que verificar se a curva tem assíntotas verticais nesses pontos. Para x = 3 :

x x 2 - 9   = 3 0 - = - ∞

x x 2 - 9   = 3 0 + = + ∞

Analogamente, para x = - 3 :

x x 2 - 9   = - 3 0 + = - ∞

x x 2 - 9   = - 3 0 - = + ∞

Assim, as retas x = - 3 e x = 3 são assíntotas verticais da curva.

Passo 6

Vamos estudar agora os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Calculando a primeira derivada. Sendo

y = x x 2 - 9

Sua derivada será calculada usando a regra do quociente. Onde

y = u v

E

y ' = u ' v - u v ' v 2

Onde

u = x

com

u ' = 1

E

v = x 2 - 9

com

v ' = 2 x

Então, nossa derivada será:

y ' = 1 ⋅ x 2 - 9 - x ⋅ 2 x x 2 - 9 2 = - x 2 + 9 x 2 - 9 2

Como

x 2 + 9 > 0

e

x 2 - 9 2 > 0

Temos que

y ' < 0

de modo que a função será sempre decrescente em todo o seu domínio.

Passo 7

Por fim, vamos analisar a concavidade da curva. Fazendo a segunda derivada:

y ' ' = - 2 x   x 2 - 9 2 - x 2 + 9 ⋅ 2 x 2 - 9 ⋅ 2 x x 2 - 9 4

y ' ' = - 2 x   x 2 - 9 - 4 x x 2 + 9 x 2 - 9 3

Assim,

y ' ' = 2 x   ( x 2 + 27 ) x - 3 3 x + 3 3

Como x 2 + 27 > 0 , apenas o denominador vai importar para o sinal de y ' ' :

Agora com todas essas informações, podemos desenhar o gráfico da função.

Resposta

O esboço da curva:

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