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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.1 - Ex. 42

Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral.

∫ s e n   ln ⁡ x d x

Passo 1

Precisamos calcular a integral dada fazendo primeiro uma substituição e em seguida tentando uma integração por partes.

Vamos tentar a mudança de variável t = ln ⁡ x . Assim, d t = d x / x , ou ainda, d x = x   d t . Por outro lado, se t = ln ⁡ x , então x = e t . Assim, d x = e t d t . Desta forma, a integral fica

∫ s e n   ln ⁡ x d x = ∫ e t   s e n   t   d t

Essa [e uma integral bem chata que deve ser uma velha conhecida, se não for, relaxe, veja como calculá-la usando partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Passo 2

Chamando u = e t e d v = s e n   t   d t , segue que d u = e t d t e v = - cos ⁡ t . Assim,

∫ e t   s e n   t   d t = - e t cos ⁡ t + ∫ e t cos ⁡ t   d t

Para essa segunda integral, aplicaremos partes de novo com u = e t e d v = cos ⁡ t   d t . Assim, d u = e t d t e v = s e n   t . Portanto,

∫ e t   s e n   t   d t = - e t cos ⁡ t + e t s e n   t - ∫ e t s e n   t   d t

Passo 3

Observe que a última integral é igual a primeira, passando ela para o outro lado:

∫ e t   s e n   t   d t + ∫ e t   s e n   t   d t = e t   s e n   t - cos ⁡ t

2 ∫ e t   s e n   t   d t = e t   ( s e n   t - cos ⁡ t )

Assim,

∫ e t   s e n   t   d t = e t 2 ( s e n   t - cos ⁡ t )

Por fim, voltando a variável original e não esquecendo de somar a constante C , temos que

∫ s e n   ln ⁡ x d x = x 2   s e n   ln ⁡ x - cos ⁡ ln ⁡ x + C

Resposta

x 2   s e n   ln ⁡ x - cos ⁡ ln ⁡ x + C

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