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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.1 - Ex. 33

Calcule a integral.

int cos x ln ( s e n x ) d x

Passo 1

Opa! Bora resolver essa integral aqui:

int cos x ln ( s e n x ) d x

Precisamos resolver a integral usando integração por partes! Relembrando a técnica, temos que

int u d v = u v - int v d u

Mas antes de usarmos integral por partes, vamos fazer uma substituição t = s e n x , de modo que d t = cos x d x . Assim:

int cos x ln ( s e n x ) d x = int ln t d t

Agora, vamos usar partes com u = ln t e d v = d t , de modo que d u = d t // t e v = t . Desta forma,

int ln t d t = t ln t - int t (d t)/(t)

int ln t d t = t ln t - int d t

Passo 2

Resolvemos a integral:

int d t = t

Assim, temos que:

int ln t d t = t ln t - int d t = t ln t - t + C

Voltando a variável original:

int cos x ln ( s e n x ) d x = s e n x ln ( s e n x ) - s e n x + C

Prontinho!

Resposta

s e n x ln ( s e n x ) - s e n x + C

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