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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 31

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:

y = root(3)(x^2 - 1)

Passo 1

Nós temos a função y = f (x) = root(3)(x^2 - 1)

Passo 2

  1. Nosso primeiro passo é calcular o domínio. Como nossa raiz pode assumir qualquer valor, nosso domínio são os reais.

  2. Agora precisamos achar os interceptos. Intercepto y : f (0) = - 1 ; intercepto x : f (x) = 0 , então: x^2 (5 - x) = 0 -> x = 0 ou x = 5 .

  3. f (- x) = f ( x ) , então a curva é simétrica no eixo y .

  4. Não há assíntotas.

  5. Encontrando os intervalos de crescimento e decrescimento:

    6. f (x) = root(3)(x^2 - 1)

    f^' (x) = (1)/(3) (x^2 - 1)^(- (2)/(3)) (2 x) = (2 x)/(3 root(3)((x^2 - 1)^2))

    f^' (x) > 0 harr x > 0

    f^' (x) < 0 harr x < 0

    Sendo assim, f cresce em (0 , oo) , e decresce em (- oo , 0) .

  6. Como a função cresce depois decresce, há um valor de máximo local em 0 .

    7. f (0) = - 1

  7. Achando concavidades e pontos de inflexão por meio da derivada segunda:

    8. f^(' ') (x) = (2)/(3) ((x^2 - 1)^((2)/(3)) (1) - x (2)/(3) (x^2 - 1)^(- (1)/(3)) ( 2 x ))/([ (x^2 - 1)^((2)/(3)) ] ²)

    f^(' ') (x) = (2)/(9) ((x^2 - 1)^(- (1)/(3)) [ 3 (x^2 - 1) - 4 x^2 ])/((x^2 - 1)^((4)/(3))) = - (2 (x^2 + 3))/(9 (x^2 - 1)^((5)/(3)))

    f^(' ') (x) > 0 para - 1 < x < 1 , e f^(' ') (x) < 0 para x < - 1 ou x > 1 , assim f tem concavidade para cima em ( - 1,1 ) , e concavidade para baixo em ( - oo , - 1 ) e em ( 1 , oo ) . Há ponto de inflexão em ( +- 1,0 ) , que é quando a derivada trocada o sinal.

    Passo 3

  8. Esboço da função:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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