Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 40
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:
Passo 1
Fala aí! tudo certinho?
Nesse problema foi dada a curva
E nosso objetivo é esboçar o gráfico de usando o roteiro dessa seção.
Lembra como fazemos isso?
O roteiro dessa seção pede para seguirmos um caminho para esboçar o gráfico de qualquer curva... vamos lembrar o que diz esse roteiro.
- 1° Dominio: Temos que primeiramente determinar o domínio da curva para sabermos onde nossa função é definida.
- 2° Intersecção com os eixos: aqui vamos fazer para saber quais valores de a curva intersecta o eixo e para saber onde a curva intersecta o eixo .
- 3° Simetria: Vamos verificar se para ver se a curva possui simetria par, se para ver se a curva possui simetria ímpar e se para ver se a função é periódica.
- 4° Assíntotas: Para verificar se a curva possui assíntotas horizontais, fazemos
- Já para verificar se a curva possui assíntotas verticais, temos que analisar a curva nos pontos de descontinuidade
- 5° Intervalos de crescimento e decrescimento: Vamos calcular a derivada da curva e analisando o intervalo onde , a função é crescente e quando a função é decrescente.
- 6° Máximos e mínimos: Para encontrar os pontos de máximos e mínimos, fazemos para obter os pontos críticos, calculamos e substituímos os pontos que encontramos... se , o ponto é de máximo e se o ponto é de mínimo.
- 7° Concavidade e pontos de inflexão: A concavidade da curva está relacionada com o sinal da segunda derivada... então se , a concavidade é voltada para cima e se a concavidade é voltada para baixo... quando temos um ponto de inflexão.
Bora começar!
Passo 2
Nosso primeiro passo é calcular o domínio da curva
A única maneira dessa função não ser definida é se seu denominador for igual a
Porém, está contido entre e , logo, não é possivel zerar o denominador...
Com isso podemos concluir que é definida em todos os valores de
Passo 3
Agora precisamos achar os interceptos com os eixos...
Fazendo , temos
Com isso podemos perceber que a curva intersecta o eixo em todo múltiplo de ... ou seja, , , , ...
Fazendo , temos
Então a curva passa pela origem!
Tranquilo até aqui?
Passo 4
Agora vamos analisar a simetria da função...
Primeiro vamos ver se
Sabemos que , mas não é igual a .
Como a igualdade não bateu, a função não possui simetria par...
Para
, então agora a igualdade foi satisfeita, então nossa curva possui simetria ímpar!
Como estamos lidando com funções trigonométricas, podemos imaginar que nossa curva é periódica...
Então vamos verificar se
Sabemos que e que , então nossa função tambem é periódica com um periodo de
Passo 5
Agora vamos analisar as assíntotas...
Nossos candidatos a assíntotas verticais são pontos de descontinuidade ou mal definidos no domínio. Mas nossa curva é continua em todo seu domínio, então não temos assíntotas verticais...
E pra verificar se temos assíntotas horizontais, temos que calcular o limite no infinito positivo e negativo... E também, como nossa função é periódica, também não podemos ter assíntotas horizontais...
Show?
Passo 6
Agora vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento...
Primeiro vamos calcular a primeira e a segunda derivada de .
Pela regra do quociente, temos:
Sabemos que , né?
Calculando a segunda derivada...
Vamos colocar e em evidência no numerador...
Bacana?
Passo 7
Agora sim... analisando a inclinação de , temos que a curva é crescente quando , ou seja:
Ou seja, a função é crescente quando é crescente... e isso acontece nos intervalos múltiplos de
E a curva decresce quando ...
Pela mesma lógica, a curva é decrescente nos intervalos
Analisando a inclinação da curva, vemos que os pontos de máximo estão dispostos em
E os pontos de mínimos em
Para os pontos de máximo, temos
E para os pontos de mínimo, temos
Estamos quase lá!
Passo 8
Por fim, vamos analisar os intervalos das concavidades e os pontos de inflexão...
Temos uma concavidade voltada para cima quando
Os termos e são sempre maiores ou iguais a , então o que define a concavidade é o termo
Para essa inequação ser válida, deve estar contido dentro dos intervalos
E a concavidade para baixo quando
Se fizermos para encontrar os pontos de inflexão, vamos obter
Passo 9
Por fim! Juntando tudo que encontramos até aqui, podemos esboçar a nossa curva como:
E aí! entendeu tudo? Responde Aí!
Resposta
