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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 40

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:

y = sen ⁡ x 2 + cos ⁡ x    

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a curva

y = sen ⁡ x 2 + cos ⁡ x  

E nosso objetivo é esboçar o gráfico de y usando o roteiro dessa seção.

Lembra como fazemos isso?

O roteiro dessa seção pede para seguirmos um caminho para esboçar o gráfico de qualquer curva... vamos lembrar o que diz esse roteiro.

  • 1° Dominio: Temos que primeiramente determinar o domínio da curva para sabermos onde nossa função é definida.

  • 2° Intersecção com os eixos: aqui vamos fazer y = 0 para saber quais valores de x a curva intersecta o eixo x e x = 0 para saber onde a curva intersecta o eixo y .

  • 3° Simetria: Vamos verificar se f - x = f x para ver se a curva possui simetria par, se f - x = - f x para ver se a curva possui simetria ímpar e se f x + p = f x para ver se a função é periódica.

  • 4° Assíntotas: Para verificar se a curva possui assíntotas horizontais, fazemos

    • lim x → ∞ ⁡ y = L 1 ,     lim x → - ∞ ⁡ y = L 2

  • Já para verificar se a curva possui assíntotas verticais, temos que analisar a curva nos pontos de descontinuidade x = a

    • lim x = a ⁡ y

  • 5° Intervalos de crescimento e decrescimento: Vamos calcular a derivada da curva e analisando o intervalo onde f ' > 0 , a função é crescente e quando f ' < 0 a função é decrescente.

  • 6° Máximos e mínimos: Para encontrar os pontos de máximos e mínimos, fazemos f ' = 0 para obter os pontos críticos, calculamos f ' ' e substituímos os pontos que encontramos... se f ' ' < 0 , o ponto é de máximo e se f ' ' > 0 o ponto é de mínimo.

  • 7° Concavidade e pontos de inflexão: A concavidade da curva está relacionada com o sinal da segunda derivada... então se f ' ' > 0 , a concavidade é voltada para cima e se f ' ' < 0 a concavidade é voltada para baixo... quando f ' ' = 0 temos um ponto de inflexão.

Bora começar!

Passo 2

Nosso primeiro passo é calcular o domínio da curva

y = sen ⁡ x 2 + cos ⁡ x  

A única maneira dessa função não ser definida é se seu denominador for igual a 0

Porém, cos ⁡ x está contido entre - 1 e 1 , logo, não é possivel zerar o denominador...

Com isso podemos concluir que y é definida em todos os valores de x

D o m y = x ∈ R

Passo 3

Agora precisamos achar os interceptos com os eixos...

Fazendo y = 0 , temos y = sen ⁡ x 2 + cos ⁡ x   = 0

sen ⁡ x = 0

Com isso podemos perceber que a curva intersecta o eixo x em todo múltiplo de π ... ou seja, 0 , π , 2 π , 3 π ...

Fazendo x = 0 , temos

y = sen ⁡ 0 2 + cos ⁡ 0 = 0

Então a curva passa pela origem!

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Agora vamos analisar a simetria da função...

Primeiro vamos ver se f - x = f x

sen ⁡ - x 2 + cos ⁡ - x = sen ⁡ x 2 + cos ⁡ x  

Sabemos que cos ⁡ - x = cos ⁡ x , mas sin ⁡ - x não é igual a sin ⁡ x .

Como a igualdade não bateu, a função não possui simetria par...

Para f - x = - f x

sen ⁡ - x 2 + cos ⁡ - x = - sen ⁡ x 2 + cos ⁡ x  

sin ⁡ - x = - sin ⁡ x , então agora a igualdade foi satisfeita, então nossa curva possui simetria ímpar!

Como estamos lidando com funções trigonométricas, podemos imaginar que nossa curva é periódica...

Então vamos verificar se y x - 2 π = y x

sen ⁡ x + 2 π 2 + cos ⁡ x + 2 π = sen ⁡ x 2 + cos ⁡ x  

Sabemos que sen ⁡ x + 2 π = sen ⁡ x e que cos ⁡ x + 2 π = cos ⁡ x , então nossa função tambem é periódica com um periodo de 2 π

Passo 5

Agora vamos analisar as assíntotas...

Nossos candidatos a assíntotas verticais são pontos de descontinuidade ou mal definidos no domínio. Mas nossa curva é continua em todo seu domínio, então não temos assíntotas verticais...

E pra verificar se temos assíntotas horizontais, temos que calcular o limite no infinito positivo e negativo... E também, como nossa função é periódica, também não podemos ter assíntotas horizontais...

Show?

Passo 6

Agora vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento...

Primeiro vamos calcular a primeira e a segunda derivada de y .

Pela regra do quociente, temos:

y ' = d sen ⁡ x 2 + cos ⁡ x   d x = d sen ⁡ x d x · 2 + cos ⁡ x   - sen ⁡ x · d 2 + cos ⁡ x   d x 2 + cos ⁡ x   2

y ' = cos ⁡ x · 2 + cos ⁡ x   - sen ⁡ x · - sen ⁡ x 2 + cos ⁡ x   2

y ' = 2 cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x   + sen 2 ⁡ x 2 + cos ⁡ x   2

Sabemos que cos 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ x = 1 , né?

y ' = 2 cos ⁡ x + 1 2 + cos ⁡ x   2

Calculando a segunda derivada...

y ' ' = d 2 cos ⁡ x + 1 2 + cos ⁡ x   2 d x = d 2 cos ⁡ x + 1 d x · 2 + cos ⁡ x   2 - 2 cos ⁡ x + 1 · d 2 + cos ⁡ x   2 d x 2 + cos ⁡ x   2 2

y ' ' = - 2 sin ⁡ x · 2 + cos ⁡ x   2 - 2 cos ⁡ x + 1 · 2 2 + cos ⁡ x   · - sin ⁡ x 2 + cos ⁡ x   2 2

Vamos colocar sin ⁡ x e 2 + cos ⁡ x   em evidência no numerador...

y ' ' = 2 sin ⁡ x 2 + cos ⁡ x - 2 - cos ⁡ x + 2 cos ⁡ x + 1 2 + cos ⁡ x   4

y ' ' = 2 sin ⁡ x cos ⁡ x - 1 2 + cos ⁡ x   3

Bacana?

Passo 7

Agora sim... analisando a inclinação de y , temos que a curva é crescente quando y ' > 0 , ou seja:

2 cos ⁡ x + 1 2 + cos ⁡ x   2 > 0

cos ⁡ x > - 1 2

Ou seja, a função é crescente quando cos ⁡ x é crescente... e isso acontece nos intervalos múltiplos de

2 π 3 + 2 π n < x < 4 π 3 + 2 π n

E a curva decresce quando y ' < 0 ...

2 cos ⁡ x + 1 2 + cos ⁡ x   2 < 0

cos ⁡ x < - 1 2

Pela mesma lógica, a curva é decrescente nos intervalos

4 π 3 + 2 π < x < 10 π 3 + 2 π

Analisando a inclinação da curva, vemos que os pontos de máximo estão dispostos em

x = 2 π 3 + 2 π n

E os pontos de mínimos em

x = 4 π 3 + 2 π n

Para os pontos de máximo, temos

y = sen ⁡ 2 π 3 2 + cos ⁡ 2 π 3 = 3 3

E para os pontos de mínimo, temos

y = sen ⁡ 4 π 3 2 + cos ⁡ 4 π 3 = - 3 3

Estamos quase lá!

Passo 8

Por fim, vamos analisar os intervalos das concavidades e os pontos de inflexão...

Temos uma concavidade voltada para cima quando y ' ' > 0

2 sin ⁡ x cos ⁡ x - 1 2 + cos ⁡ x 3 > 0

Os termos cos ⁡ x - 1 e 2 + cos ⁡ x 3 são sempre maiores ou iguais a 0 , então o que define a concavidade é o termo sin ⁡ x

sin ⁡ x > 0

Para essa inequação ser válida, x deve estar contido dentro dos intervalos

0 + 2 π n < x < π + 2 π n

E a concavidade para baixo quando y ' ' < 0

sin ⁡ x < 0

π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n

Se fizermos y ' ' = 0 para encontrar os pontos de inflexão, vamos obter

sin ⁡ x = 0

x = π n

Passo 9

Por fim! Juntando tudo que encontramos até aqui, podemos esboçar a nossa curva como:

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

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