Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.5 - Ex. 50
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva
Passo 1
Oiee vamos resolver essa juntinhos?
Primeiro, determinamos o domínio da função
- As funções e estão definidas para todos os valores reais de
- Portanto, o domínio da função é todos os números reais
Verificar a simetria da função pode simplificar o esboço da curva.
- Para verificar a simetria:
- Uma função é par se
- Uma função é ímpar se .
Verificamos
Isso não é igual a nem a então a função não é par nem ímpar.
Passo 2
Analisamos o comportamento da função para valores extremos de (quando
- Para
À medida que
Portanto, a função porque cresce mais rapidamente que decresce.
- Para
À medida que
Portanto, a função porque e crescem em magnitude, mas domina.
Passo 3
Calculamos a derivada para entender o comportamento monótono da função.
Usamos as regras de derivação:
Analisamos os pontos críticos onde
Multiplicamos por para simplificar:
Substituímos
Portanto, ou
Voltamos para
-
-
Passo 4
Analisamos o sinal da derivada em torno desses pontos críticos:
- Para
Para
A derivada é positiva.
- Para
Verificamos que entre
é menor que 4.
A derivada é negativa.
- Para
Para
A derivada é positiva.
Portanto:
- é um ponto de máximo local.
- é um ponto de mínimo local.
Passo 5
Calculamos quando
- A função tem um domínio em todos os números reais.
- A função não é simétrica.
- A função é crescente para decrescente para e crescente para
- Máximo local em com
- Mínimo local em
Calculamos o valor da função no ponto de mínimo local:
- Para
Passo 6
Pontos para Esboço
-
-
Com base nas análises acima, podemos esboçar a curva da função
1. A função começa em
2. Cresce até
3. Decresce até
4. Cresce novamente para tendendo a infinito à medida que
O gráfico da função será assim:
Resposta
Vide o passo a passo.