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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.5 - Ex. 16

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva

y = (x^2 - 2)/(x^4)

Passo 1

Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.

y = (x^2 - 2)/(x^4)

A única restrição que temos é o nosso denominador ser diferente de 0 . Assim,

x^4 != 0 -> x != 0

Então o domínio, fica:

R - { 0 }

Passo 2

Agora vamos ver os pontos de interseção com os eixos. Se y = 0 :

(x^2 - 2)/(x^4) = 0

Logo,

x^2 = 2 -> x = +- sqrt(2)

Passo 3

Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é ímpar ou par. Então vem comigo:

f (x) = (x^2 - 2)/(x^4)

Vamos ver como fica o f ( - x ) :

f (- x) = ((- x)^2 - 2)/((- x)^4) = (x^2 - 2)/(x^4)

Como f (x) = f ( - x ) nossa função é par. Isso significa que a curva é simétrica em relação ao eixo y .

Passo 4

Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas caso existam.

  1. Assíntota horizontal:

    2. L = underset(x -> oo)(lim) (x^2 - 2)/(x^4)

    Quando x -> oo podemos desprezar o termo - 2 no denominador. Logo,

    L = underset(x -> oo)(lim) (x^2)/(x^4) = underset(x -> oo)(lim) (1)/(x^2)

    Portanto,

    L = 0

    O mesmo acontece para x -> - oo

  2. Assíntota vertical: Como temos a restrição x = 0 , vamos ver se temos uma assíntota nesse ponto.

L = underset(x -> 0)(lim) (x^2 - 2)/(x^4)

Para x = 0 :

L = - (2)/(0)

Logo,

L = - oo

Passo 5

Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar f ' ( x ) .

f (x) = (x^2 - 2)/(x^4)

Assim,

f^' (x) = ((2 x) * (x^4) - (x^2 - 2) * (4 x^3))/(x^8)

Isto é,

f^' (x) = (x^3 (- 2 x^2 + 8))/(x^8)

Agora vamos ver os pontos onde f^' (x) > 0 e os pontos onde f^' (x) < 0 :

Para os pontos f^' (x) > 0 :

(x^3 (- 2 x^2 + 8))/(x^8) > 0 -> x (4 - x^2) > 0

Resolvendo a inequação:

x in (- oo , - 2) uu (0,2)

Para os pontos f^' (x) < 0 :

x (4 - x^2) < 0

Logo,

x in (2 , oo)

Passo 6

Agora temos que achar os valores máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer f^' (x) = 0 :

(x^3 (- 2 x^2 + 8))/(x^8) = 0

Então, temos:

x^3 (- 2 x^2 + 8) = 0 -> x (4 - x^2) = 0

Portanto,

x = 0 ou 4 - x^2 = 0

Se 4 - x^2 = 0 :

x = +- 2

Passo 7

Agora chegou a hora de analisarmos a concavidade nos pontos de inflexão. Para isso, temos que achar f^(' ') ( x ) .

f^' (x) = (- 2 x^5 + 8 x^3)/(x^8)

Logo,

f^(' ') (x) = ((- 10 x^4 + 24 x^2) * (x^8) - (- 2 x^5 + 8 x^3) * (8 x^7))/(x^(16))

Simplificando:

f^(' ') (x) = (- 8 x^2 + 16)/(x^6)

Agora vamos analisar os pontos:

f^(' ') (2) < 0

f^(' ') (- 2) < 0

Logo, teremos concavidade para cima em 2 e em - 2 .

Passo 8

Por fim, basta esboçarmos o a nossa curva:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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