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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 3

Verifique por diferenciação que a formula está correta.

∫ 1 a 2 - x 2 3 d x = x a 2 a 2 - x 2 + C

Passo 1

Ele nos pede para verificar o seguinte:

∫ 1 a 2 - x 2 3 d x = x a 2 a 2 - x 2 + C

A ideia vai ser derivar o lado direito e verificar se é igual ao que está dentro da integral no lado esquerdo. Então vamos lá!

Passo 2

E = x a 2 a 2 - x 2 + C

Derivando,

E ' = x a 2 a 2 - x 2 ' + 0

Pela regra do quociente:

E ' = 1 ⋅ a a 2 - x 2 - x ⋅ a 2 a 2 - x 2 ' a 2 a 2 - x 2 2  

Agora vamos calcular a derivada de a 2 a 2 - x 2 :

a 2 a 2 - x 2 ' = a 2 ⋅ 1 2 a 2 - x 2 ⋅ ( - 2 x )

Isto é,

a 2 a 2 - x 2 ' = - a 2 x a 2 - x 2

Passo 3

Voltando para expressão de E ' :

E ' = a 2 a 2 - x 2 - x ⋅ - a 2 x a 2 - x 2 a 2 a 2 - x 2 2

Arrumando as coisas:

E ' = a 2 a 2 - x 2 2 + a x 2 a 2 a 2 - x 2 2 ⋅ a 2 - x 2

Simplificando:

E ' = a 4 a 4 ⋅ a 2 - x 2 3

Portanto,

E ' = 1 a 2 - x 2 3

Como E ' deu igual a função que queremos integrar, então verificamos o que ele nos pediu.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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