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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.10 - Ex. 28

Use uma série de Maclaurin derivada nesta seção para obter a série de Maclaurin para a função dada .

f x = x cos ⁡ 2 x

Passo 1

E aí futuro cientista, preparado para usar todo seu talento em cálculo nessa questão de matemática? Vamos lá!

Para encontrar a série de Maclaurin da função f x = x cos ⁡ ( 2 x ) , precisamos primeiro lembrar a série de Maclaurin para a função c o s x . A série de Maclaurin é uma expansão em série de potências centrada em x = 0 .

A série de Maclaurin para c o s x é bem conhecida e podemos escrevê-la como:

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

Nosso objetivo é usar essa série para encontrar a série de Macalurin da função x cos ⁡ ( 2 x ) .

Passo 2

Observe que a diferença entre cos ⁡ ( x ) e cos ⁡ ( 2 x ) está no argumento da função cosseno. Para transformar a série de cos ⁡ ( x ) na série de cos ⁡ ( 2 x ) , basta substituir x por 2 x na série original:

c o s 2 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( 2 x ) 2 n 2 n !

Simplificando, temos:

c o s 2 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n ⋅ x 2 n 2 n !

Passo 3

Agora, vamos usar a série de cos ⁡ 2 x para encontrar a série de x cos ⁡ ( 2 x ) . Multiplicamos x pela série que acabamos de encontrar:

x   c o s 2 x = x ⋅ ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n ⋅ x 2 n 2 n !

Distribuindo x dentro da série:

x   c o s 2 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n ⋅ x 2 n + 1 2 n !

E pronto! Chegamos à série de Maclaurin para a função f x = x cos ⁡ 2 x .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n ⋅ x 2 n + 1 2 n !

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