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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.12 - Ex. 12

Use um sistema de computação algébrico computacional para encontrar os polinômios de Taylor de ordem T n em a = 0 para os valores de n dados. Então, plote esses polinômios e f na mesma tela.

f x = tan ⁡ x ,     n = 1,3 , 5,7 , 9

Passo 1

Bom, vamos começar relembrando o que é um polinômio de Taylor. Ele consiste em nada mais e nada menos que um polinômio obtido através do truncamento da série de Taylor. Logo,

T n x = ∑ i = 0 n f i a i !   x - a i

Como o nosso maior polinômio é o de ordem 9 , nosso foco será descrevê-lo. A partir dele, é só retirar alguns outros termos para conseguir os polinômios de ordem 1, 3, 5, 7 e 9. Portanto, o polinômio de ordem 8 será:

T 9 x = f 0 0 0 ! x 0 + f 1 0 1 ! x 1 + … + f 9 0 9 ! x 9

Temos agora que descobrir quem são essas derivadas da nossa função!

Passo 2

Nosso trabalho agora será derivar a função oito vezes e aplicar o ponto x = 0 . Com isto, temos:

f x = tan ⁡ x ⟹ f 0 = 0

f ' x = sec 2 ⁡ x ⟹ f ' 0 = 1

f ' ' x = 2 sec 2 ⁡ x tan ⁡ x ⟹ f ' ' 0 = 0

f 3 x = 4 sec 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x + 2 sec 4 ⁡ x ⟹ f 3 0 = 2

f 4 x = 8 sec 2 ⁡ x tan 3 ⁡ x + 1 6 sec 4 ⁡ x tan ⁡ x ⟹ f 4 0 = 0

f 5 x = 16 sec 2 ⁡ x tan 4 ⁡ x + 8 8 sec 4 ⁡ x tan 2 ⁡ x + 1 6 sec 6 ⁡ x ⟹ f 5 0 = 16

f 6 x = 32 sec 2 ⁡ x tan 5 ⁡ x + 416 sec 4 ⁡ x tan 3 ⁡ x + 272 sec 6 ⁡ x tan ⁡ x ⟹ f 6 0 = 0

f 7 x = 64 sec 2 ⁡ x tan 6 ⁡ x + 1842 sec 4 ⁡ x tan 4 ⁡ x + 2880 sec 6 ⁡ x tan 2 ⁡ x + 272 sec 8 ⁡ x ⟹ f 7 0 = 272

f 8 x = 128 sec 2 ⁡ x tan 7 ⁡ x + 7680 sec 4 ⁡ x tan 5 ⁡ x + 24576 sec 6 ⁡ x tan 3 ⁡ x + 7936 sec 8 ⁡ x tan ⁡ x ⟹ f 8 0 = 0

E por fim,

f 9 x = 256 sec 2 ⁡ x tan 8 ⁡ x + 31616 sec 4 ⁡ x tan 6 ⁡ x + 185856 sec 6 ⁡ x tan 4 ⁡ x + 137216 sec 8 ⁡ x tan 2 ⁡ x + 7936 sec 10 ⁡ x ⟹ f 9 0 = 7936

Portanto, os polinômios de Taylor são:

T 1 x = x

T 3 x = x + 2 6 x 3

T 5 x = 1 + 2 6 x 3 + 16 120 x 5

T 7 x = 1 + 2 6 x 3 + 16 120 x 5 + 272 5040 x 7

T 9 x = 1 + 2 6 x 3 + 16 120 x 5 + 272 5040 x 7 + 7936 362880 x 9

Passo 3

Agora que obtivemos os nossos polinômios de Taylor, vamos fazer seus plots e comparar com a função original. Utilizando softwares para nos auxiliar, temos:

Resposta

T 1 x = x

T 3 x = x + 2 6 x 3

T 5 x = 1 + 2 6 x 3 + 16 120 x 5

T 7 x = 1 + 2 6 x 3 + 16 120 x 5 + 272 5040 x 7

T 9 x = 1 + 2 6 x 3 + 16 120 x 5 + 272 5040 x 7 + 7936 362880 x 9

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