Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.4 - Ex. 8
Use série de potência para resolver a equação diferencial.
Passo 1
Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem e devemos resolvê-la usando série de potência. Então vamos supor uma solução do tipo série:
A derivada em relação à é:
E a derivada segunda é:
E vamos substituir na equação diferencial:
E já vamos colocar para dentro do somatório o que está no segundo somatório do lado esquerdo:
Passo 2
A primeira coisa a ser feita para resolver uma equação diferencial por série de potência é igualar os expoentes dos somatórios. Sempre buscando deixa-los na maior potência de possível. No nosso caso o maior expoente é do termo de com potência . Então vamos arrumar o primeiro somatório do lado esquerdo:
Vamos substituir o índice original por . Assim vamos ter , então o original vai virar :
E por simplicidade podemos trocar o índice por novamente. Aqui é só uma mudança de índice, então o nome não importa efetivamente, apenas as somas =)
E podemos agora podemos substituir novamente na equação diferencial:
Passo 3
Bom, agora que temos todos os com a mesma potência, vamos olhar para o início dos somatórios. Um deles começa em , e o outro em , então devemos colocar o primeiro termo do somatório que começa com para fora e assim deixar todos somatórios começando em (sempre deixar com o maior índice comum a todos):
E agora podemos juntar os somatórios em uma única soma:
Daqui tiramos duas informações: e também:
E assim temos uma fórmula de recorrência:
Agora vamos ver qual a sequência que vai representar. Vamos variar o valor de :
- :
- :
- :
- :
- :
- :
E assim por diante...
Podemos observar que os termos .
Agora vamos ver os múltiplos de :
Se multiplicarmos em cima e embaixo por ficamos com:
Agora vamos ver os múltiplos de :
Ou seja:
Assim a solução fica:
E é essa a solução!
Beleza?
Vamos pra próxima?