Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.4 - Ex. 10
Use série de potência para resolver a equação diferencial.
Passo 1
Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem e devemos resolvê-la usando série de potência. Então vamos supor uma solução do tipo série:
A derivada em relação à é:
E a derivada segunda é:
Agora vamos substituir na equação diferencial:
E já vamos colocar o que está do lado de fora do segundo somatório da esquerda para dentro:
Pronto, vamos continuar?
Agora temos uma equação em série de potência, vamos ver como se resolve?
Passo 2
A primeira coisa a ser feita para resolver uma equação diferencial por série de potência é igualar os expoentes dos somatórios. Sempre buscando deixa-los na maior potência de possível. No nosso caso o maior expoente é do segundo somatório do lado esquerdo, com potência . Então vamos arrumar o primeiro somatório do lado esquerdo:
Vamos substituir o índice original por . Assim vamos ter , então o original vai virar :
E agora vamos simplificar os índices:
E por simplicidade podemos trocar o índice por novamente. Aqui é só uma mudança de índice, então o nome não importa efetivamente, apenas as somas =)
E podemos agora podemos substituir novamente na equação:
Beleza! Agora vamos arrumar os somatórios =D
Passo 3
Bom, agora que temos todos os com a mesma potência, vamos olhar para o início dos somatórios. Um deles começa em , e outro em , então devemos colocar o primeiro e o segundo termo do que começa com para fora e assim deixar todos somatórios começando em (sempre deixar com o maior índice comum a todos):
Beleza! Agora que temos os somatórios iguais e as potências de iguais, podemos unir esses dois somatórios em um só:
Para essa sentença ser verdadeira teremos:
Pois do outro lado não temos nenhuma constante e nenhum polinômio de primeiro grau para igualar, então e são nulos.
E também tudo que está dentro dos colchetes no somatório deve ser zero:
Agora pare! Antes de ir vendo qual é a fórmula para , vamos aplicar as condições de contorno!
Passo 4
Então é aqui que testamos as condições iniciais. Lá do passo temos:
A primeira condição inicial nos diz que para , então substituindo na solução que supomos lá no começo temos:
Ok! Agora a segunda condição de contorno diz respeito à derivada de . Então, também do passo :
E a condição de contorno nos diz que então:
Assim . Show! Então temos . Agora sim podemos ir para o cálculo de .
Passo 5
Voltando no passo e resgatando a fórmula de recorrência para
E vamos variar o valor de para visualizar a recorrência :
- Para :
- Para :
- Para :
- Para :
- Para :
Se continuarmos vamos encontrar . Apenas os termos vão ser diferentes de zero. Daí:
Uma recorrência pode ser:
Passo 6
Beleza! Agora que encontramos o coeficiente podemos voltar para o passo e substituir na solução: