Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 12
Em cada um dos problemas de 1 a 14:
- Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado encontre a relação de recorrência.
- Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções e (a menos que a série termine antes).
- Calculando o wronskiano , mostre que e formam um conjunto fundamental de soluções.
- Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
Passo 1
Nesse problema iremos utilizar a forma de série de potências para encontrarmos a solução da nossa EDO. Vamos primeiro supor que a solução seja algo do tipo
usando as informações dadas no enunciado. Vamos derivar duas vezes essa expressão para encontrarmos e e após um bom tempo manipulando as expressões, encontraremos nosso e para calcularmos o Wronskiano.
Passo 2
Bom, vamos lá! Pra começar, vamos seguir mais ou menos como foi dito no passo 1. Vamos supor , como já dito, e usar o dado no enunciado. Assim temos que
Se derivarmos duas vezes, vamos chegar que
Substituindo agora na nossa equação inicial, vamos ter que
Vamos expandir um pouco essa equação e manipular.
Precisamos achar um jeito de deixar ambos os lados da igualdade com os mesmos índices na somatória e apenas com o termo para encontrarmos a relação de recorrência. Para isso, vamos escrever como
e vamos expandir os termos do outro lado da igualdade. Assim, ficaremos com nossa equação na forma
Para toda essa relação ser verdade, temos que nossa equação de recorrência será
Sendo essa a resposta do nosso primeiro item.
Passo 3
Para o segundo item, vamos precisar encontrar as duas soluções e para a EDO. Se colocarmos valores para os nossos na equação de recorrência, vamos chegar que
Se formos calculando sucessivamente, vamos chegar que Podemos ver que para , será proporcional a , ou mais especificamente, Para . Assim, nossa solução geral fica
E nossas duas soluções linearmente independentes serão, como da forma
Sendo essa a resposta do segundo item e do ultimo.
Passo 4
Se aplicarmos o wronskiano no ponto , teremos que , e . Assim, fazendo o determinante, temos que o wronskiano da
sendo então um conjunto fundamental de soluções e a resposta do nosso terceiro item.