Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.4 - Ex. 9
Use série de potência para resolver a equação diferencial.
Passo 1
Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem e devemos resolvê-la usando série de potência. Então vamos supor uma solução do tipo série:
A derivada em relação à é:
E a derivada segunda é:
E vamos substituir na equação diferencial:
E já vamos colocar para dentro do somatório o que está no segundo somatório do lado esquerdo:
Passo 2
A primeira coisa a ser feita para resolver uma equação diferencial por série de potência é igualar os expoentes dos somatórios. Sempre buscando deixa-los na maior potência de possível. No nosso caso o maior expoente é do termo de com potência . Então vamos arrumar o primeiro somatório do lado esquerdo:
Vamos substituir o índice original por . Assim vamos ter , então o original vai virar :
E arrumando os índices teremos:
Beleza! Por simplicidade podemos trocar o índice por novamente. Aqui é só uma mudança de índice, então o nome não importa efetivamente, apenas as somas =)
E podemos agora podemos substituir novamente na equação diferencial:
Passo 3
Bom, agora que temos todos os com a mesma potência, vamos olhar para o início dos somatórios. Dois deles começam em , e um em , então devemos colocar o primeiro termo dos que começam com para fora e assim deixar todos somatórios começando em (sempre deixar com o maior índice comum a todos):
E agora podemos unir todos esses somatórios em uma única soma:
Para essa sentença ser verdadeira teremos:
E assim podemos ter o valor de :
E também tudo que está dentro dos colchetes no somatório deve ser zero:
Aqui temos a fórmula de recorrência:
Beleza! Agora calma! Até agora nos exercícios nós não tínhamos condições de contorno. Mas nesse sim! Então é aqui que testamos as condições iniciais. Lá do passo temos:
A primeira condição inicial nos diz que para , então substituindo na solução que supomos lá no começo temos:
Ok! Agora a segunda condição de contorno diz respeito à derivada de . Então, também do passo :
E a condição de contorno nos diz que então:
Assim .
Passo 4
Pronto! Agora podemos voltar a nossa fórmula de recorrência!
Vamos variar o valor de para ver qual fórmula fechada encontramos:
- Para :
- Para :
- Para :
- Para :
- Para :
- Para :
Daqui podemos ver que são todos nulos, pois . Agora vamos ver mais números pares para entendermos melhor qual é a recorrência:
Assim podemos ver que para temos:
Passo 5
Beleza! Agora que encontramos o coeficiente podemos voltar para o passo e substituir na solução:
Como , então a solução fica:
E saca só! Lembrando lá das séries de Maclaurin identificamos que essa é a série de potência da função ! Então a solução final fica:
Certo! Vamos pra próxima?