Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.4 - Ex. 6
Use série de potência para resolver a equação diferencial.
Passo 1
Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem e devemos resolvê-la usando série de potência. Então vamos supor uma solução do tipo série:
A derivada em relação à é:
E a derivada segunda é:
E vamos substituir na equação diferencial:
Passo 2
A primeira coisa a ser feita para resolver uma equação diferencial por série de potência é igualar os expoentes dos somatórios. Sempre buscando deixa-los na maior potência de possível. No nosso caso o maior expoente é do termo de com potência . Então vamos arrumar o primeiro somatório do lado esquerdo:
Vamos substituir o índice original por . Assim vamos ter , então o original vai virar :
E por simplicidade podemos trocar o índice por novamente. Aqui é só uma mudança de índice, então o nome não importa efetivamente, apenas as somas =)
E podemos agora podemos substituir novamente na equação diferencial:
Passo 3
Já que temos as potências iguais vamos olhar para o início dos somatórios. Ambas as somas começam em , então aqui não precisamos ajustar nada. (eba!) Então podemos juntar em uma única soma:
Como , então para essa sentença matemática ser verdadeira devemos ter o termo entre colchetes igual à zero:
Chegamos a famosa fórmula de recorrência. Agora vamos ver como é o coeficiente :
- Para :
- Para :
- Para :
- Para :
- Para :
- Para :
Então, para os pares temos:
Para os ímpares temos:
Passo 4
Beleza! Agora que encontramos os coeficientes podemos voltar para o passo e substituir na solução:
E é essa a solução!
Vamos pra próxima?