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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.6 - Ex. 19

Use um sistema de computação algébrica para fazer o gráfico de f e encontrar f ' e f ' ' . Utilize os gráficos dessas derivadas para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão de f .

f x = x + 5 sin ⁡ x ,           x ≤ 20    

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

f x = x + 5 sin ⁡ x

E nosso objetivo é plotar os gráficos de f ' e f ' ' para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento, de concavidades, os valores extremos e os pontos de inflexão.

Tem ideia de como fazemos isso?

Bom... vamos começar calculando f ' e f ' ' usando um sistema de computação e plotar seus gráficos.

A partir do gráfico de f ' podemos encontrar informações importantes... a inclinação de f está diretamente relacionado a f ' , então se f ' > 0 , a inclinação de f é positiva e se f ' < 0 a inclinação de f é negativa. Além disso, quando f ' = 0 temos pontos críticos de f e para analisar se são valores extremos, temos que verificar f ' ' nesse ponto.

Já em f ' ' podemos determinar os intervalos de concavidades... se f ' ' > 0 a concavidade é para cima e se f ' ' < 0 a concavidade é para baixo. E para determinar se os pontos críticos obtidos em f ' são de máximos ou mínimos verificamos o sinal de f ' ' ... se f ' ' < 0 o ponto é de máximo, se f ' ' > 0 o ponto é de mínimo e se f ' ' = 0 temos um ponto de inflexão.

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Vamos começar analisando f ' ...

Usando uma ferramenta computacional e uma ferramenta gráfica, temos que

f ' x = 5 cos ⁡ x + 1 2 x + 5 sin ⁡ x

A partir desse gráfico podemos concluir que nos intervalos:

x < - 4,5 0 < x < 1,8 4,5 < x < 8 10,8 < x < 14,3 17,1 < x < 20

A função f possui inclinação positiva pois f ' > 0 e nos intervalos:

- 4,5 < x < - 4 2 < x < 4,5 8 < x < 10,8 14,3 < x < 17,1

A função possui inclinação negativa pois f ' < 0 .

Podemos perceber tambem que f possui 6 candidatos a pontos extremos: x = - 4,5 , x = 1,8 , x = 8 , x = 10,8 , x = 14,3 e x = 17,1 .

Isso porque são os pontos onde f ' corta o eixo x .

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos repetir o processo do início do passo 2 para obter f ' '

f ' ' x = 10 cos ⁡ x + 25 sin 2 ⁡ x + 10 x sin ⁡ x + 26 4 x + 5 sin ⁡ x 3 2

Aqui podemos observar que nos intervalos:

x < 9,6 12,2 < x < 15,8 x > 18,6

A função f possui concavidade voltada para cima pois f ' ' > 0 e nos intervalos:

9,6 < x < 12,2 15,8 < x < 18,6

A função f possui concavidade voltada para baixo pois f ' ' < 0 .

Agora vamos analisar os pontos críticos obtidos no passo anterior...

Em x = - 4,5 , x = 1,8 , x = 8 e x = 14,3 temos pontos de mínimos em f pois f ' ' > 0 .

Já em x = 10,8 e x = 17,1 vemos que f ' ' < 0 , logo esses são pontos de máximo em f .

E por último, vemos que f possui quatro pontos de inflexão... em x = 9,6 , x = 12,2 , x = 15,8 e x = 18,6 .

Que são os pontos onde f ' ' = 0 .

Show?

Passo 4

Para confirmar tudo que encontramos até aqui, vamos plotar o gráfico de f .

f x = x + 5 sin ⁡ x

Aqui podemos perceber os intervalos de inclinação, as concavidades, os pontos extremos e os pontos de inflexão nos passos 2 e 3!

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

Intervalos de crescimento:

x < - 4,5 0 < x < 1,8 4,5 < x < 8 10,8 < x < 14,3 17,1 < x < 20

Intervalos de decrescimento:

- 4,5 < x < - 4 2 < x < 4,5 8 < x < 10,8 14,3 < x < 17,1

Pontos críticos:

  • x = - 4,5 , x = 1,8 , x = 8 e x = 14,3 temos pontos de mínimos em f .
  • x = 10,8 e x = 17,1 temos pontos de máximo em f .

    • Pontos de Inflexão:

  • x = 9,6 , x = 12,2 , x = 15,8 e x = 18,6 .
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