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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.3 - Ex. 37

  1. Use a soma dos dez primeiros termos para estimar a soma da série ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 . Quão boa é essa estimativa?
  2. Melhore essa estimativa usando [ 3 ] com n = 10 .
  3. Compare sua estimativa da parte (b) com o valor exato dado no Exercício 34.
  4. Encontre um valor de n que garante que o erro na aproximação s ≈ s n seja menor que 0,001 .

Passo 1

Galerinha! Como estão? Tudo tranquilo?

Vamos começar entendendo nossa situação.

Na letra a) vamos estimar a soma escrevendo os 10 primeiros termos dela e calcularmos quanto isso dá. Ao perguntar o quão boa é essa estimativa o que a questão quer é saber o erro de precisão entre esse número que encontramos e a soma total da série. Esse erro é dado por:

R n ≤ ∫ n ∞ f ( x ) d x

Na letra b) vamos usar a Estimativa do Resto para o Teste da Integral (estimativa [3]):

s n + ∫ n + 1 ∞ f ( x ) d x ≤ s ≤ s n + ∫ n ∞ f ( x ) d x  

Esse método traz erros bem menores para o valor da soma, ficando bem mais próximo de seu valor real.

Na letra c) precisaremos achar a diferença do valor que acharemos em b) com o valor da questão 34.

Pra finalizar nossa questãozinha, para fazer a d) vamos precisar achar o valor de n   na inequação do resto R n que coloquei ali em cima.

Parece muita coisa, mas vamos por partes, ok?

Passo 2

Letra a)

Primeiramente vamos somar os 10 primeiros termos

∑ n = 1 10 1 n 2 ≈ 1 1 2 + 1 2 2 + … + 1 10 2 ≈ 1.549768

A soma estimada para os 10 primeiros termos é 1.549768 .

Primeiro, vamos ver se essa função preenche os requisitos para que se possa aplicar o Teste da Integral: função positiva, contínua e decrescente:

Agora tomando que f x = 1 / x 2 é sempre positiva e para todo x > 0 , é uma função contínua e além disso f ' x = - 2 / x 3 é negativa para x > 0 , ou seja, é decrescente, então podemos aplicar o teste da integral.

Calculando nosso erro:

R 10 ≤ ∫ 10 ∞ 1 x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ - 1 x 10 t

Aplicando os limites de integração:

= lim t → ∞ ⁡ - 1 x 10 t = lim t → ∞ ⁡ - 1 t + 1 10 = 1 10

Que mostra ter um erro de 0.1

Passo 3

Letra b)

Calculando novamente o valor da soma s , porém agora usando um método mais preciso.

Aplicando [3] (lembra que já calculamos o valor da integral na letra a)? Aqui vamos aplicar direto).

s 10 + ∫ 11 ∞ 1 x 2 d x ≤ s ≤ s 10 + ∫ 10 ∞ 1 x 2 d x   → s 10 + 1 11 ≤ s ≤ s 10 + 1 10

Assim:

1,640677 ≤ s ≤ 1,649768

Sabemos então que o valor da soma da sequência está entre esses dois valores. Calculando a média entre eles, temos:

s ≈ 1,64522

Que é o valor médio.

Passo 4

Letra c):

O valor exato do exercício 34 é π 2 / 6 ≈ 1,644934

Uma diferença de menos que 0,0003

Passo 5

Letra d):

Seja

R n ≤ ∫ n ∞ 1 x 2 d x = 1 n

Então R n ≤ 0,001 se

1 n ≤ 1 1000 → n = 1000

Resposta

Respostas em cada parte do exercício.

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