Teste a série quanto a convergência ou divergência

∑ k = 1 ∞ 2 k - 1 3 k + 1 k k

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem?

Neste exercício, vamos analisar a convergência da série

∑ k = 1 ∞ 2 k - 1 3 k + 1 k k

Observando a série, podemos perceber que se a gente fizer uma manipulação matemática, ela vai se tornar uma expressão elevada à potência k . Olha só:

a k = 2 k - 1 3 k + 1 k k = 3 2 2 ⋅ 3 k k

Portanto, para determinar a convergência dessa série, vamos utilizar o Teste da Raiz. O Teste da Raiz é especialmente indicado para séries onde os termos estão elevados a uma potência k , porque ele nos ajuda a analisar o comportamento dos termos quando k tende ao infinito.

O Teste da Raiz consiste em calcular o limite:

L = lim k → ∞ ⁡ a k k

  • Se L < 1 , a série converge.
  • Se L > 1 ou L   → ∞ , a série diverge.
  • Se L = 1 , o teste é inconclusivo.

Passo 2

Nosso termo geral é:

a k = 3 2 2 ⋅ 3 k k

Pelo teste da raiz, temos que

lim k → ∞ ⁡ 3 2 2 ⋅ 3 k k k

= lim k → ∞ ⁡ 6 k 3 2 k = 0 < 1

Passo 3

À medida que k tende ao infinito, o limite lim k → ∞ ⁡ 6 k 3 2 k tende a 0 . Portanto, a expressão se simplifica para:

L = 0

Como L = 0 < 1 , pelo Teste da Raiz, podemos concluir que a série é convergente.

Resposta

A série ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1 3 k + 1 k k é convergente.

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