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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.11 - Ex. 3

Calcule.

int (sen 2 x)/(1 + cos x) d x

Passo 1

Vamos primeiro usar uma identidade:

sen (2 x) = 2 cos x sen x

Assim:

int (sen 2 x)/(1 + cos x) d x = int (2 cos x sen x)/(1 + cos x) d x

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = cos x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = - sen x d x

Vamos agora fazer a substituição:

int (2 cos x sen x)/(1 + cos x) d x = int (- 2 u)/(1 + u) d u

Passo 2

Agora vamos fazer outra substituição, vamos lá:

v = 1 + u -> u = v - 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = d u

Vamos agora fazer a substituição:

int (- 2 u)/(1 + u) d u = int (- 2 (v - 1))/(v) d v = int (- 2 v + 2)/(v) d v = int - 2 d v + int (2)/(v) d v

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

Vamos usar essas expressões para achar as primitivas da função:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

int k d x = k x + C

Aplicando:

int - 2 d v + int (2)/(v) d v = - 2 v + 2 int (1)/(v) d v = - 2 v + 2 ln |v| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int - 2 d v + int (2)/(v) d v = - 2 v + 2 int (1)/(v) d v = - 2 v + 2 ln |v| + C = - 2 (1 + u) + 2 ln |1 + u| + C = - 2 (1 + cos x) + 2 ln |1 + cos x| + C

Resposta

int (sen 2 x)/(1 + cos x) d x = - 2 (1 + cos x) + 2 ln |1 + cos x| + C

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