Calcule.

∫ 1 2 + sen ⁡ x d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar que:

sen ⁡ x = 2 tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2

Assim:

∫ 1 2 + sen ⁡ x d x = ∫ 1 2 + 2 tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x

Vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = tg ⁡ x 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 2 sec 2 ⁡ x 2 d x = 1 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x

Vamos agora fazer a substituição:

∫ 1 2 + 2 tg ⁡ x 2 1 + tg 2 ⁡ x 2 d x = ∫ 1 2 + 2 u 1 + u 2 ⋅ 2 1 + u 2 d u = ∫ 1 2 + 2 u 2 + 2 u 1 + u 2 ⋅ 2 1 + u 2 d u = ∫ 1 1 + u 2 + u d u = ∫ 1 u + 1 2 2 + 3 4 d u

Passo 2

Agora vamos fazer outra substituição, vamos lá:

t = u + 1 2

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = d u

Vamos agora fazer a substituição:

∫ 1 u + 1 2 2 + 3 4 d u = ∫ 1 t 2 + 3 4 d t = ∫ 1 4 t 2 + 3 4 d t = ∫ 4 4 t 2 + 3 d t = 4 ∫ 1 4 t 2 + 3 d t

Agora fica simples de resolver, vamos lá, por último vamos fazer outra substituição, vamos lá:

t = 3 2 v

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = 3 2 d v

Vamos agora fazer a substituição:

4 ∫ 1 4 t 2 + 3 d t = 4 ∫ 3 2 4 ⋅ 3 v 2 4 + 3 d v = 2 ∫ 3 3 v 2 + 3 d v = 2 3 3 ∫ 1 v 2 + 1 d v

Passo 3

Vamos usar essa expressão para achar as primitivas da função:

∫ 1 x 2 + 1 d x = arctg ⁡ x + C

Aplicando:

2 3 3 ∫ 1 v 2 + 1 d v = 2 3 3 arctg ⁡ v + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

2 3 3 ∫ 1 v 2 + 1 d v = 2 3 3 arctg ⁡ v + C = 2 3 3 arctg ⁡ 2 t 3 + C = 2 3 3 arctg ⁡ 2 ⋅ u + 1 2 3 + C = 2 3 3 arctg ⁡ 2 ⋅ tg ⁡ x 2 + 1 2 3 + C = 2 3 3 arctg ⁡ 2 tg ⁡ x 2 + 1 3 + C

Resposta

∫ 1 2 + sen ⁡ x d x = 2 3 3 arctg ⁡ 2 tg ⁡ x 2 + 1 3 + C

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