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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.11 - Ex. 6

Calcule.

int (1)/(2 + sen x) d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar que:

sen x = (2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2))

Assim:

int (1)/(2 + sen x) d x = int (1)/(2 + (2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2))) d x

Vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = tg (x)/(2)

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = (1)/(2) sec^2 (x)/(2) d x = (1)/(2) (1 + tg^2 (x)/(2)) d x

Vamos agora fazer a substituição:

int (1)/(2 + (2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2))) d x = int (1)/(2 + (2 u)/(1 + u^2)) * (2)/(1 + u^2) d u = int (1)/((2 + 2 u^2 + 2 u)/(1 + u^2)) * (2)/(1 + u^2) d u = int (1)/(1 + u^2 + u) d u = int (1)/((u + (1)/(2))^2 + (3)/(4)) d u

Passo 2

Agora vamos fazer outra substituição, vamos lá:

t = u + (1)/(2)

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = d u

Vamos agora fazer a substituição:

int (1)/((u + (1)/(2))^2 + (3)/(4)) d u = int (1)/(t^2 + (3)/(4)) d t = int (1)/((4 t^2 + 3)/(4)) d t = int (4)/(4 t^2 + 3) d t = 4 int (1)/(4 t^2 + 3) d t

Agora fica simples de resolver, vamos lá, por último vamos fazer outra substituição, vamos lá:

t = (sqrt(3))/(2) v

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = (sqrt(3))/(2) d v

Vamos agora fazer a substituição:

4 int (1)/(4 t^2 + 3) d t = 4 int (sqrt(3))/(2 (4 * (3 v^2)/(4) + 3)) d v = 2 int (sqrt(3))/((3 v^2 + 3)) d v = (2 sqrt(3))/(3) int (1)/((v^2 + 1)) d v

Passo 3

Vamos usar essa expressão para achar as primitivas da função:

int (1)/(x^2 + 1) d x = arctg x + C

Aplicando:

(2 sqrt(3))/(3) int (1)/((v^2 + 1)) d v = (2 sqrt(3))/(3) arctg v + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

(2 sqrt(3))/(3) int (1)/((v^2 + 1)) d v = (2 sqrt(3))/(3) arctg v + C = (2 sqrt(3))/(3) arctg (2 t)/(sqrt(3)) + C = (2 sqrt(3))/(3) arctg ((2 * (u + (1)/(2)))/(sqrt(3))) + C = (2 sqrt(3))/(3) arctg ((2 * (tg (x)/(2) + (1)/(2)))/(sqrt(3))) + C = (2 sqrt(3))/(3) arctg ((2 tg (x)/(2) + 1)/(sqrt(3))) + C

Resposta

int (1)/(2 + sen x) d x = (2 sqrt(3))/(3) arctg ((2 tg (x)/(2) + 1)/(sqrt(3))) + C

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