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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 61

Use a substituição do exercício 57 para transformar o integrando em uma função racional de t e então calcule a integral.

∫ 1 3   s e n   x - 4 cos ⁡ x   d x

Passo 1

No exercício 57 vimos que a substituição

t = t g   x 2

é equivalente a

cos ⁡ x = 1 - t 2 1 + t 2     e     s e n   x = 2 t 1 + t 2

e, além disso,

d x = 2 1 + t 2   d t

Vamos usar essa substituição para resolver a integral. Assim, o integrando ficará

1 3   s e n   x - 4 cos ⁡ x   d x = 1 6 t 1 + t 2 - 4 - 4 t 2 1 + t 2 ⋅ 2 1 + t 2 d t = 2 4 t 2 + 6 t - 4   d t

Assim,

1 3 - 5   s e n   x = 1 2 t 2 + 3 t - 2   d t = 1 2 ⋅ 1 t - 1 2 t + 2   d t

Passo 2

Desta forma,

∫ 1 3   s e n   x - 4 cos ⁡ x   d x = 1 2 ∫ 1 t - 1 2 t + 2   d t

Fazendo a decomposição:

1 t - 1 2 t + 2 = A t - 1 2 + B t + 2 = A t + 2 A + B t - B 2 t - 1 2 t + 2

Assim, A + B = 0 ⇒ A = - B e 2 A - B 2 = 1 ⇒ 2 A + A 2 = 1 ⇒ 4 A + A = 2 ⇒ A = 2 / 5 . Assim, B = - 2 / 5 . Portanto,

1 2 ∫ 1 t - 1 2 t + 2   d t = 1 5 ∫ 1 t - 1 2 - 1 t + 2 d t = 1 5 ln ⁡ t - 1 2 - 1 5 ln ⁡ t + 2 + C

Passo 3

Voltando a variável x :

∫ 1 3   s e n   x - 4 cos ⁡ x   d x = 1 5 ln ⁡ t g   x 2 - 1 2 - 1 5 ln ⁡ t g   x 2 + 2 + C

Resposta

1 5 ln ⁡ t g   x 2 - 1 2 - 1 5 ln ⁡ t g   x 2 + 2 + C

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h) ∫ sec 5 ⁡ ( 3 x ) t g ( 3 x ) d x
i) ∫ t g 6 x d x
c) ∫ t g 3 2 x sec ⁡ 2 x d x
a) ∫ t g 5 x sec 2 ⁡ x d x
g) ∫ sec 4 ⁡ ( x ) d x