a) int t g^5 (x) sec^2 (x) d x

Passo 1

I = int t g^5 (x) sec^2 (x) d x

A estratégia nessa questão será fazer uma substituição de variável. Podemos chamar u de t g (x) ou de s e c ( x ) , mas o que vai nos ajudar é o primeiro. Olha só:

u = t g (x) ( * )

Derivando,

d u = sec^2 (x) d x

Viu que quando derivamos apareceu o termo que ta na nossa integral?!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Nossa integral era o seguinte:

I = int t g^5 (x) sec^2 (x) d x

Indo para a variável u , temos:

I = int (u)^5 d u

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

Passo 3

Agora é só terminar!

I = int (u)^5 d u = (u^(5 + 1))/(5 + 1) + c

Atenção: Quando temos uma indefinida, não podemos esquecer da constante c .

Fazendo as contas:

I = (u^6)/(6) + c

Voltando para a variável t g ( x ) :

I = (t g^6 (x))/(6) + c

Resposta

(t g^6 (x))/(6) + c

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