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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.10 - Ex. 1a

a) int t g^5 (x) sec^2 (x) d x

Passo 1

I = int t g^5 (x) sec^2 (x) d x

A estratégia nessa questão será fazer uma substituição de variável. Podemos chamar u de t g (x) ou de s e c ( x ) , mas o que vai nos ajudar é o primeiro. Olha só:

u = t g (x) ( * )

Derivando,

d u = sec^2 (x) d x

Viu que quando derivamos apareceu o termo que ta na nossa integral?!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Nossa integral era o seguinte:

I = int t g^5 (x) sec^2 (x) d x

Indo para a variável u , temos:

I = int (u)^5 d u

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

Passo 3

Agora é só terminar!

I = int (u)^5 d u = (u^(5 + 1))/(5 + 1) + c

Atenção: Quando temos uma indefinida, não podemos esquecer da constante c .

Fazendo as contas:

I = (u^6)/(6) + c

Voltando para a variável t g ( x ) :

I = (t g^6 (x))/(6) + c

Resposta

(t g^6 (x))/(6) + c

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Explique explique como a substituição u = a x + b ajuda a efetuar uma integração em que o integrando é f a x + b e f ( x ) é uma função fácil de integrar.
Explique a relação entre a regra da cadeia para a derivação e o método da substituição u para a integração.
Calcule as integrais usando a substituição indicada. a ∫ cot ⁡ x csc 2 ⁡ x d x ; u = cot ⁡ x b ∫ 1 + sin ⁡ t 9 cos ⁡ td t ; u = 1 + sin ⁡ t
Calcule as integrais usando uma substituição apropriada. ∫ cos ⁡ x 3d x
Calcule as integrais usando uma substituição apropriada. ∫ sin ⁡ 7 xd x