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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.10 - Ex. 1h

h) int sec^5 ( 3 x ) t g ( 3 x ) d x

Passo 1

I = int sec^5 ( 3 x ) t g ( 3 x ) d x

Repara que temos o termo sec (3 x) * t g ( 3 x ) no que queremos integrar e isso é bem parecido com a derivada de sec (3 x) . Assim, vamos fazer a seguinte substituição:

u = sec (3 x)

Derivando,

d u = 3 * sec (3 x) * t g (3 x) d x -> (d u)/(3) = sec (3 x) * t g (3 x) d x

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Nossa integral é o seguinte

I_1 = int sec^5 (3 x) * t g ( 3 x ) d x = int sec^4 (3 x) * sec (3 x) t g (3 x) d x

Usando as relações ali de cima, temos:

I = int u^4 (d u)/(3) = (1)/(3) * int u^4 d u

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1 e int (1)/(x) d x = ln |x| + c

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I = (1)/(3) * int u^4 d u = (1)/(3) * (u^5)/(5) + c = (u^5)/(15) + c

Voltando para variável s e c ( 3 x )

I = (sec^5 ( 3 x ))/(15) + c

Resposta

(sec^5 ( 3 x ))/(15) + c

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