h) ∫ sec 5 ⁡ ( 3 x ) t g ( 3 x ) d x

Passo 1

I = ∫ sec 5 ⁡ ( 3 x ) t g ( 3 x ) d x

Repara que temos o termo sec ⁡ 3 x ⋅ t g ( 3 x ) no que queremos integrar e isso é bem parecido com a derivada de sec ⁡ 3 x . Assim, vamos fazer a seguinte substituição:

u = sec ⁡ 3 x

Derivando,

d u = 3 ⋅ sec ⁡ 3 x ⋅ t g 3 x d x → d u 3 = sec ⁡ 3 x ⋅ t g 3 x d x

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Nossa integral é o seguinte

I 1 = ∫ sec 5 ⁡ 3 x ⋅ t g ( 3 x ) d x = ∫ sec 4 ⁡ 3 x ⋅ sec ⁡ 3 x t g 3 x d x

Usando as relações ali de cima, temos:

I = ∫ u 4 d u 3 = 1 3 ⋅ ∫ u 4 d u  

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1 e ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I = 1 3 ⋅ ∫ u 4 d u = 1 3 ⋅ u 5 5 + c = u 5 15 + c

Voltando para variável s e c ( 3 x )

I = sec 5 ⁡ ( 3 x ) 15 + c

Resposta

sec 5 ⁡ ( 3 x ) 15 + c

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