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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 54

Use integração por partes, juntamente com as técnicas desta seção, para calcular a integral.

∫ x   a r c g t g   x   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral usando inicialmente integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos chamar u = a r c t g   x e d v = x   d x Assim,

d u = 1 x 2 + 1 d x     e     v = x 2 2

Portanto,

∫ x   a r c g t g   x   d x = x 2 2 a r c t g   x - 1 2 ∫ x 2 x 2 + 1 d x

Nosso objetivo é calcular essa segunda integral! Como o grau do numerador é igual ao denominador, precisamos dividi-los:

x 2 = x 2 + 1 - 1

Assim,

∫ x 2 x 2 + 1 d x = ∫ x 2 + 1 - 1 x 2 + 1 d x = ∫ 1 - 1 x 2 + 1 d x

Passo 2

Desta forma,

∫ x 2 x 2 + 1 d x = x - a r c t g   x

De modo que

∫ x   a r c g t g   x   d x = x 2 2 a r c t g   x - 1 2 x + 1 2 a r c t g   x + C

Resposta

x 2 2 a r c t g   x - 1 2 x + 1 2 a r c t g   x + C

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