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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.10 - Ex. 1c

c) int t g^3 (2 x) sec (2 x) d x

Passo 1

I = int t g^3 (2 x) * sec (2 x) d x

A estratégia nessa questão será fazer uma substituição de variável. Tá vendo que temos um produto t g (2 x) * s e c ( 2 x ) ali na nossa integral?!

Isso é bem parecido com a derivada de s e c ( 2 x ) . Então, nossa ideia vai ser fazer a seguinte substituição:

u = s e c (2 x) ( i )

Derivando,

d u = 2 * t g (2 x) sec (2 x) d x

Esse 2 apareceu por causa da regra da cadeia 😉

Viu que quando derivamos apareceu o termo parecido com o que temos na nossa integral?!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa para encaixar as coisas!

Nossa integral era o seguinte:

I = int t g^3 (2 x) * sec (2 x) d x = int t g^2 (2 x) * t g (2 x) sec (2 x) d x

Conseguimos fazer aparecer nosso d u ! Pra finalizar, precisamos expressar t g^2 (2 x) em função de s e c ( x ) , mas sabemos o seguinte:

1 + t g^2 (2 x) = sec^2 ( 2 x )

Usando (i) , temos:

1 + t g^2 ( x ) = u^2

Então nossa integral fica assim ó:

I = int t g^2 (2 x) * t g (2 x) sec (2 x) d x = int (u^2 - 1) * (d u)/(2)

Organizando as coisas:

I = (1)/(2) * int u^2 d u - (1)/(2) * int d u

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

Passo 3

Agora é só terminar!

I = (1)/(2) * int u^2 d u - (1)/(2) * int d u = (1)/(2) * (u^3)/(3) - (1)/(2) * u + c = (u^3)/(6) - (u)/(2) + c

Atenção: Quando temos uma indefinida, não podemos esquecer da constante c .

Voltando para a variável s e c ( 2 x ) :

I = (sec^3 ( 2 x ))/(6) - (s e c ( 2 x ))/(2) + c

Resposta

(sec^3 ( 2 x ))/(6) - (s e c ( 2 x ))/(2) + c

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Calcule as integrais usando uma substituição apropriada. ∫ sec 2 ⁡ 5 xd x
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Calcule as integrais usando uma substituição apropriada. ∫ 4 x - 3 9d x
Calcule as integrais usando a substituição indicada. a ∫ 2 x x 2 + 1 23d x ; u = x 2 + 1 b ∫ cos 3 ⁡ x ⋅ sin ⁡ xd x ; u = cos ⁡ x