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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.10 - Ex. 1i

i) int t g^6 (x) d x

Passo 1

I = int t g^6 (x) d x

Quando quisermos integrar algo que tenha tg^n ( x ) com n par, pode ser uma boa ideia usar essa relação trigonométrica ó:

1 + t g^2 (x) = sec^2 ( x )

Então vamos usar essa ideia!!

I = int t g^6 (x) d x = int t g^4 (x) * t g^2 (x) d x = int t g^4 (x) * ( sec^2 (x) - 1 ) d x

Isto é:

I = int t g^4 (x) sec^2 (x) d x - int t g^4 (x) d x ( i )

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Viu que agora queremos integrar t g^4 (x) ?! Expoente par, então mesma ideia!!

I_2 = int t g^4 (x) d x = int t g^2 (x) * t g^2 (x) d x = int t g^2 (x) * ( sec^2 (x) - 1 ) d x

I_2 = int t g^2 (x) sec^2 (x) d x - int t g^2 (x) d x ( i i )

De novo? Não acredito!! Agora é com t g^2 (x) ?! Expoente par, então mesma ideia!!

I_3 = int t g^2 (x) d x = int ( sec^2 (x) - 1 ) d x = int sec^2 (x) d x - int d x ( i i i )

Agora vamos juntar as coisas para não nos perdermos!

I = int t g^4 (x) sec^2 (x) d x - I_2

I_2 = int t g^2 (x) sec^2 (x) d x - I_3

I_3 = int sec^2 (x) d x - int d x

Logo,

I_2 = int t g^2 (x) sec^2 (x) d x - I_3

I_2 = int t g^2 (x) sec^2 (x) d x - int sec^2 (x) d x + int d x

E por fim:

I = int t g^4 (x) sec^2 (x) d x - I_2

I = int t g^4 (x) sec^2 (x) d x - int t g^2 (x) sec^2 (x) d x + int sec^2 (x) d x - int d x

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I = int t g^4 (x) sec^2 (x) d x - int t g^2 (x) sec^2 (x) d x + int sec^2 (x) d x - int d x

Fazendo uma substituição de variável:

u = t g ( x )

Derivando:

d u = sec^2 (x) d x

Então nossa integral fica assim ó:

I = int u^4 d u - int u^2 d u + int d u - int d x

Não vamos trocar o último pois ele é bem simples!

I = (u^5)/(5) - (u^3)/(3) + u - x + c

Voltando para t g ( x ) :

I = (t g^5 (x))/(5) - (t g^3 (x))/(3) + t g (x) - x + c

Resposta

(t g^5 (x))/(5) - (t g^3 (x))/(3) + t g (x) - x + c

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