g) int sec^4 ( x ) d x

Passo 1

I = int sec^4 ( x ) d x

Quando quisermos integrar algo que tenha sec^n ( x ) com n par, pode ser uma boa ideia usar essa relação trigonométrica ó:

1 + t g^2 (x) = sec^2 ( x )

Então vamos usar essa ideia!!

I = int sec^4 (x) d x = int sec^2 (x) * sec^2 (x) d x = int sec^2 (x) * (1 + t g^2 (x)) d x

Fazendo a distributiva:

I = int sec^2 (x) d x + int sec^2 (x) * t g^2 (x) d x

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

A primeira parte é o seguinte:

I_1 = int sec^2 (x) d x

Lembrete: int sec^2 ( x ) d x = t g ( x ) + c

Logo,

I_1 = t g (x) + c_1

Agora a segunda vamos com mais calma!

I_2 = int sec^2 (x) * t g^2 (x) d x

A gente sabe que a derivada de tg ( x ) é sec^2 ( x ) , então vamos a seguinte substituição:

u = tg (x)

Derivando,

d u = sec^2 ( x ) d x

Agora é só correr pro abraço!

I_2 = int u^2 d u

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1 e int (1)/(x) d x = ln |x| + c

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I_2 = int u^2 d u = (u^3)/(3) + c_2

Voltando para variável t g ( x )

I_2 = (u^3)/(3) + c_2 = (tg^3 ( x ))/(3) + c_2

Portanto:

I = I_1 + I_2 = t g (x) + c_1 + (tg^3 ( x ))/(3) + c_2

Juntando as constantes:

I = t g (x) + (tg^3 ( x ))/(3) + c

Resposta

t g (x) + (tg^3 ( x ))/(3) + c

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