g) ∫ sec 4 ⁡ ( x ) d x  

Passo 1

I = ∫ sec 4 ⁡ ( x ) d x

Quando quisermos integrar algo que tenha sec n ⁡ ( x ) com n par, pode ser uma boa ideia usar essa relação trigonométrica ó:

1 + t g 2 x = sec 2 ⁡ ( x )

Então vamos usar essa ideia!!

I = ∫ sec 4 ⁡ x d x = ∫ sec 2 ⁡ x ⋅ sec 2 ⁡ x d x = ∫ sec 2 ⁡ x ⋅ 1 + t g 2 x d x

Fazendo a distributiva:

I = ∫ sec 2 ⁡ x d x + ∫ sec 2 ⁡ x ⋅ t g 2 x d x

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

A primeira parte é o seguinte:

I 1 = ∫ sec 2 ⁡ x d x

Lembrete: ∫ sec 2 ⁡ ( x ) d x = t g ( x ) + c

Logo,

I 1 = t g x + c 1

Agora a segunda vamos com mais calma!

I 2 = ∫ sec 2 ⁡ x ⋅ t g 2 x d x

A gente sabe que a derivada de tg ⁡ ( x ) é sec 2 ⁡ ( x ) , então vamos a seguinte substituição:

u = tg ⁡ x

Derivando,

d u = sec 2 ⁡ ( x ) d x

Agora é só correr pro abraço!

I 2 = ∫ u 2 d u

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1 e ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I 2 = ∫ u 2 d u = u 3 3 + c 2

Voltando para variável t g ( x )

I 2 = u 3 3 + c 2 = tg 3 ⁡ ( x ) 3 + c 2

Portanto:

I = I 1 + I 2 = t g x + c 1 + tg 3 ⁡ ( x ) 3 + c 2

Juntando as constantes:

I = t g x + tg 3 ⁡ ( x ) 3 + c

Resposta

t g x + tg 3 ⁡ ( x ) 3 + c

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