Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.2 - Ex. 66
Use o Teorema 0.2.3 para determinar se os gráficos têm simetrias em relação ao eixo x, ao eixo y ou à origem.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
Vamos ver, primeiro, o que diz o teorema 0.2.3:
- Uma curva plana é simétrica em relação ao eixo y se, e somente se, substituindo-se x por −x em sua equação, obtém-se uma equação equivalente.
- Uma curva plana é simétrica em relação ao eixo x se, e somente se, substituindo-se y por −y em sua equação, obtém-se uma equação equivalente.
- Uma curva plana é simétrica em relação à origem se, e somente se, substituindo-se x por −x e y por −y em sua equação, obtém-se uma equação equivalente.
Então, vamos usar isso para responder ao problema. Só fazer as substituições do teorema e ver em qual dos 3 casos a função se encaixa.
Passo 2
(a)
Primeiro, vamos substituir por :
Podemos multiplicar tudo por :
Como não achamos duas equações iguais, não temos simetria em relação a .
Passo 3
Agora, substituindo por :
Como :
Opa, achamos a mesmíssima equação!! Logo, temos uma simetria em relação ao , nesse caso.
Passo 4
Por último, vamos substituir :
Podemos multiplicar tudo por
Como :
Como não achamos duas equações iguais, não temos simetria em relação à origem.
Passo 5
(b)
Primeiro, vamos substituir por :
Como :
Como achamos duas equações iguais, temos simetria em relação a .
Passo 6
Agora, substituindo por :
Como :
Opa, achamos a mesmíssima equação!! Logo, temos uma simetria em relação ao .
Passo 7
Por último, vamos substituir :
Como e Como :
Como achamos duas equações iguais, temos, também, simetria em relação à origem.
Passo 8
(c)
Primeiro, vamos substituir por :
Como não achamos duas equações iguais, não temos simetria em relação a .
Passo 9
Agora, substituindo por :
Como não achamos duas equações iguais, não temos simetria em relação a .
Passo 10
Por último, vamos substituir :
Como achamos duas equações iguais, temos simetria em relação à origem.
Resposta
(a) Simetria com .
(b) Todas as 3 simetrias.
(c) Simetria com a origem.