Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 33
Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada:
(Teorema dado no livro)
Passo 1
O Teorema apresentado na questão diz que se temos uma função com máximo M e mínimo m dentro de um intervalo , o valor de estará entre e . O que queremos então é encontrar os valores máximo e mínimo da função no intervalo para então aplicar o teorema e saber entre que valores está a integral.
Passo 2
Pra acharmos o máximo e mínimo absolutos da função no intervalo dado, precisamos primeiro achar os pontos críticos. Derivando a função obtemos:
Teremos um ponto crítico quando a derivada for igual a zero ou não exisir. Como existe para todo , queremos . Resolvemos então a equação no intervalo :
Para o resultado temos no nosso intervalo apenas . Para o resultado temos e . Logo, temos esses três pontos críticos. Agora basta comparar o valor de nos pontos críticos e nos extremos e para acharmos o máximo e o mínimo absolutos da função no intervalo.
Passo 3
Comparamos agora os valores da função nos ponto críticos e nos extremos:
Temos então e . Como já temos os valores e , podemos aplicar o teorema.
Passo 4
Aplicando diretamente o teorema, tendo , e , sabemos então que: