Trace ou copie o gráfico de f . (Suponha os eixos da mesma escala). Use então o método do Exemplo 1 para esboçar o gráfico de f' .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente usar o gráfico da função f   dada para esboçar o gráfico da derivada f ' , de acordo com o método do Exemplo 1 .

O gráfico dado foi esse aqui:

O método do exemplo 1 consiste em traçarmos retas tangentes em alguns pontos da nossa curva e analisar a inclinação dessas retas. A partir disso, saberemos se a derivada da função em cada ponto é positiva, negativa ou nula e conseguiremos traçar uma curva para f ' . Então, é isso que nós vamos fazer.

É importante lembrar que, em geral, se o gráfico de uma função f tiver uma “quina” ou uma “dobra”, então o gráfico de f não terá tangente nesse ponto, e f não será diferenciável ali (a derivada não existe no ponto). Além disso, nos pontos onde a nossa curva for crescente, a nossa derivada será sempre positiva e nos pontos onde a curva for decrescente, a derivada será negativa, beleza?

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar trançando algumas retas tangentes na nossa curva:

Observe que nessas retas a nossa curva está decrescendo e inclinação das retas é sempre negativa. Mas a inclinação é a mesma em cada ponto, percebe?

Isso significa que nesses pontos a nossa derivada será negativa e constante. Então, podemos representa-la como uma reta horizontal abaixo do eixo x no gráfico de f ' :

As bolinhas vazias representam os pontos onde a função f ' não está definida. Isso acontece por conta das “quinas” que aparecem na função f ( x ) e representam os pontos onde ela não é diferenciável.

Passo 3

Vamos traçar mais algumas retas tangentes no gráfico:

Observe que agora temos inclinações constantes e positivas nos pontos onde a nossa curva está crescendo. Mas ainda temos algumas quinas na função, então teremos nossa derivada sendo representada por linhas horizontais acima do eixo x com as bolinhas vazias nos pontos onde a derivada não existe ou não está definida:

E o gráfico de f ' fica completo dessa forma:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

Gráfico de f ' .

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