Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 2.9 - Ex. 12

Trace ou copie o gráfico de . (Suponha os eixos da mesma escala). Use então o método do Exemplo para esboçar o gráfico de .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente usar o gráfico da função dada para esboçar o gráfico da derivada , de acordo com o método do Exemplo .

O gráfico dado foi esse aqui:

O método do exemplo consiste em traçarmos retas tangentes em alguns pontos da nossa curva e analisar a inclinação dessas retas. A partir disso, saberemos se a derivada da função em cada ponto é positiva, negativa ou nula e conseguiremos traçar uma curva para . Então, é isso que nós vamos fazer.

É importante lembrar que, em geral, se o gráfico de uma função tiver uma “quina” ou uma “dobra”, então o gráfico de não terá tangente nesse ponto, e não será diferenciável ali (a derivada não existe no ponto). Além disso, nos pontos onde a nossa curva for crescente, a nossa derivada será sempre positiva e nos pontos onde a curva for decrescente, a derivada será negativa, beleza?

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar trançando algumas retas tangentes na nossa curva:

Observe que nessas retas a nossa curva está decrescendo e inclinação das retas é sempre negativa. Mas a inclinação é a mesma em cada ponto, percebe?

Isso significa que nesses pontos a nossa derivada será negativa e constante. Então, podemos representa-la como uma reta horizontal abaixo do eixo no gráfico de :

As bolinhas vazias representam os pontos onde a função não está definida. Isso acontece por conta das “quinas” que aparecem na função e representam os pontos onde ela não é diferenciável.

Passo 3

Vamos traçar mais algumas retas tangentes no gráfico:

Observe que agora temos inclinações constantes e positivas nos pontos onde a nossa curva está crescendo. Mas ainda temos algumas quinas na função, então teremos nossa derivada sendo representada por linhas horizontais acima do eixo com as bolinhas vazias nos pontos onde a derivada não existe ou não está definida: