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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 53

Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente.

∫ 0 1 sec 2 ⁡ x x x d x

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😎

Nesse problema temos que usar o teorema da comparação para verificar se a integral

∫ 0 1 sec 2 ⁡ x x x d x

É convergente ou divergente...

Tem ideia decomo fazemos isso? 😬

Vamos lá, o Teorema da Comparação diz que:

Supondo que f e g são contínuas com f x ≥ g x ≥ 0 para x ≥ a :

  • se ∫ a ∞ f x d x é convergente, então ∫ a ∞ g x d x é convergente;
  • se ∫ a ∞ g x d x é divergente, então ∫ a ∞ f x d x é divergente.

Veja só! 😬

Passo 2

Temos que para 0 < x ≤ 1 :

sec 2 ⁡ x x x > 1 x 3 2

Pronto, temos que:

∫ 0 1 g x d x = ∫ 0 1 1 x 3 2 d x

Vamos calcular essa integral:

Para calcular essa integral vamos usar a Definição de uma Integral Imprópria do Tipo 2 (b), pois ela é contínua em 0,1 e descontínua em 0 :

∫ 0 1 1 x 3 2 d x = lim t → 0 + ⁡ ∫ t 1 1 x 3 2 d x

= lim t → 0 + ⁡ ∫ t 1 x - 3 2 d x

∫ 0 1 1 x 3 2 d x = lim t → 0 + ⁡ - 2 x - 1 2 t 1

∫ 0 1 1 x 3 2 d x = lim t → 0 + ⁡ - 2 . 1 - 1 2 - - 2 t - 1 2

∫ 0 1 1 x 3 2 d x = lim t → 0 ⁺ ⁡ - 2 + 2 t = ∞

Assim, ∫ 0 1 g x d x = ∫ 0 1 1 x 3 2 d x é divergente, pronto, temos que 0 ≤ g x ≤ f x , assim ∫ 0 1 sec 2 ⁡ x x x d x é divergente.

E aí! o que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

∫ 0 1 sec 2 ⁡ x x x d x é divergente

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