Use o Teorema da Comparação para determinar se o integral é convergente ou divergente.

∫ 1 ∞ 1 + sin 2 ⁡ x   x   d x

Passo 1

Bom galera, a gente sabe que:

sin 2 ⁡ x ≥ 0

E somando um dos dois lados na inequação temos:

1 + sin 2 ⁡ x ≥ 1

Passo 2

Beleza, com isso a gente pode dizer isso:

1 + sin 2 ⁡ x x ≥ 1 x

Logo:

∫ 1 ∞ 1 + sin 2 ⁡ x   x   d x ≥ ∫ 1 ∞ 1   x   d x

E:

∫ 1 ∞ 1   x   d x = ∫ 1 ∞ x - 1 2   d x

É bem mais fácil de integrar, né?

Passo 3

Show de bola, calculando a integral pela regra geral a gente encontra:

∫ 1 ∞ x - 1 2   d x = 2 x 1 2 + C 1 ∞

= 2 ( ∞ ) 1 2 + C - 2 ( 1 ) 1 2 + C

= ∞ - 2 = ∞

Pronto galera, então a gente já sabe que a integral diverge.

Resposta

Diverge

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