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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 13

Use o Teorema da Divergência para calcular a integral superfície ∬ S F ⋅ d S , ou seja, calcule o fluxo de F através de S .

F = r r ,   r = x i + y j + z k

S consiste no hemisfério z = 1 - x 2 - y 2 e o disco x 2 + y 2 ≤ 1 no plano x y .

Passo 1

E aí, galera! De boa?

A questão quer que a gente calcule a integral de superfície

∬ S   F ⋅ d S

Onde:

F → x , y , z = r | r | , onde r = x i → + y j → + z k →

E S   consiste do hemisfério

z = 1 - x 2 - y 2

e do disco

x 2 + y 2 ≤ 1

no plano x y .

O Teorema do Divergente diz que:

∬ E   F ⋅ d S = ∭ E   d i v   F   d V

Ou seja, o fluxo de F pela fronteira de E é igual a integral tripla da divergência de F sobre a mesma fronteira E .

Então, nós vamos precisar calcular o divergente de F dado por:

d i v F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Aqui, o exercício não nos deu a função F diretamente, então vamos usar o vetor r dado para determinar nosso F .

Depois, com o divergente de F em mãos, é só calcular nossa integral tripla com base nos limites de integração da nossa superfície S .

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar definindo nossa função campo F :

F → x , y , z = r | r |

onde r = x i → + y j → + z k →

Ou seja, nosso campo é r multiplicado pelo módulo de r . Calculando o módulo de um vetor, precisamos da raiz quadrada da soma dos quadrados das 3 componentes:

r = x 2 + y 2 + z 2

Multiplicando:

F → x , y , z = r r = x i → + y j → + z k → ⋅ x 2 + y 2 + z 2

Multiplicando a constante para dentro de cada componente, nosso campo F será:

F → x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2   i → + y x 2 + y 2 + z 2   j → + z x 2 + y 2 + z 2   k →

A função campo é do tipo:

F = P i + Q j + R k

Então, nossos termos são:

P = x x 2 + y 2 + z 2  

Q = y x 2 + y 2 + z 2

R = z x 2 + y 2 + z 2  

Aplicando na equação do divergente:

d i v F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Teremos:

d i v F = ∂ x x 2 + y 2 + z 2   ∂ x + ∂ y x 2 + y 2 + z 2 ∂ y + ∂ z x 2 + y 2 + z 2 ∂ z

Resolvendo as derivadas parciais, vamos colocar os resultados de cada uma separadamente porque elas são grandinhas.

  • Derivada em x :

    • ∂ x x 2 + y 2 + z 2   ∂ x = x 2 + y 2 + z 2 + x 2 x 2 + y 2 + z 2

    Simplificando:

    ∂ x x 2 + y 2 + z 2   ∂ x = 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2  

  • Derivada em y :

    • ∂ y x 2 + y 2 + z 2 ∂ y = x 2 + y 2 + z 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2

    Simplificando:

    ∂ x x 2 + y 2 + z 2   ∂ y = x 2 + 2 y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2  

  • Derivada em z :

∂ z x 2 + y 2 + z 2 ∂ z = x 2 + y 2 + z 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2

Simplificando:

∂ x x 2 + y 2 + z 2   ∂ z = x 2 + y 2 + 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2  

Somando os 3 termos:

d i v F = 3 x 2 + y 2 + z 2 + x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2

E simplificando:

d i v F = 4 x 2 + y 2 + z 2

Passo 3

Vamos aplicar agora o Teorema da Divergência!

∬ S   F ⋅ d S = ∭ E   d i v   F   d V = ∭ E   4 x 2 + y 2 + z 2 d V

Agora precisamos achar os limites de integração da nossa superfície S . S   consiste do hemisfério

z = 1 - x 2 - y 2

e do disco

x 2 + y 2 ≤ 1

no plano x y . Um hemisfério nada mais é que metade de uma esfera. No caso aqui vamos ter a metade positiva, já que a função z é positiva.

A região de integração é um hemisfério com raio 1 e o plano z = 0 .

Em coordenadas esféricas temos

x = ρ s e n ϕ c o s θ

y = ρ s e n ϕ s e n θ

z = ρ c o s ϕ

O sistema de coordenadas esféricas tem 3 variáveis:

  • ρ : raio da esfera. Como tem raio 1 e está centrada na origem, temos a variação:

    • 0 ≤ ρ ≤ 1

  • θ : ângulo da esfera no plano x y , ao redor do eixo z . Como no plano x y nossa esfera traça uma circunferência completa, nossa variação será:

    • 0 ≤ θ ≤ 2 π

  • ϕ : ângulo que sai do eixo positivo de z . Como nosso hemisfério é somente metade, ϕ vai do eixo z positivo até o plano x y . Então:

0 ≤ ϕ ≤ π 2

Assim os limites das variáveis são:

0 ≤ ϕ ≤ π 2 0 ≤ ρ ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2 π

E o diferencial de volume vai ser

d V = ρ 2 s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

Usamos também a equação:

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

Então, nossa integral se torna:

∭ E   4 x 2 + y 2 + z 2 d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 4 ρ 3   s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

Passo 4

Agora é só resolvermos nossa integral tripla:

∬ S   F ⋅ d S = ∭ E   d i v   F   d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 4 ρ 3 s e n ϕ d ρ d ϕ d θ  

Separando a integral do produto num produto de integrais:

= ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π / 2 s e n ϕ   d ϕ ∫ 0 1 4 ρ 3 d ρ  

Resolvendo nossas integrais, cada qual em relação a sua respectiva variável de integração:

= θ 0 2 π ⋅ - cos ⁡ ϕ 0 π 2 ⋅ ρ 4 0 1

Aplicando os limites de integração, ficamos com:

= 2 π ⋅ 1 ⋅ 1 = 2 π

Então:

∬ E   F ⋅ d S = ∭ E   d i v   F   d V = 2 π

Resposta

∬ E   F ⋅ d S = ∭ E   d i v   F   d V = 2 π

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