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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.9 - Ex. 13

Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ∬ c F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = c o s z + x y 2 i → + x e - z j → + s e n y + x 2 z k →

S   é a superfície do sólido limitado pelo paraboloide z = x 2 + y 2 e pelo plano z = 4

Passo 1

Fala, galeraaa, tudo bem?

A questão quer que a gente calcule o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície pelo campo vetorial

F → x , y , z = c o s z + x y 2 i → + x e - z j → + s e n y + x 2 z k →

Numa região S definida por um sólido limitado pelo plano z = 4 e pelo paraboloide

z = x 2 + y 2

Galeurasss, pra calcular a integral de superfície pelo Teorema do Divergente, precisamos ter essa fórmula aqui:

∬ c F → ⋅ d S → = ∭ E ∇ ⋅ F → d V

Ou seja, temos que calcular o divergente ( ∇ ) do campo F → que é dado pelas derivadas parciais do campo:

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

Passo 2

Observando nosso campo vetorial, temos:

F → x , y , z = c o s z + x y 2 i → + x e - z j → + s e n y + x 2 z k →

Assim, sabemos que

F x = c o s z + x y 2

F y = x e - z

F z = s e n y + x 2 z

Fazendo as derivadas parciais de cada termo em relação a x , y e z :

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x c o s z + x y 2 + ∂ ∂ y x e - z + ∂ ∂ z s e n y + x 2 z

Chegaremos a

x 2 + y 2

Lembre-se de que a região de integração é um paraboloide e um plano.

Em coordenadas cilíndricas temos

x = r c o s θ ;     y = r s e n θ ;     z = z

x 2 + y 2 = r 2

No plano x y temos um círculo de raio 2 , já que, segundo informações do enunciado e as fórmulas de coordenadas cilíndricas, se

z = 4

E

z = x 2 + y 2

Então

x 2 + y 2 = 4 ⏟ r 2

Assim os limites das variáveis são:

{ r 2 ≤ z ≤ 4   0 ≤ r ≤ 2   0 ≤ θ ≤ 2 π  

E o diferencial de volume vai ser

d V = r d z d r d θ

O divergente do campo na nova parametrização é

∇ ⋅ F → = x 2 + y 2

Ou melhor,

∇ ⋅ F → = r 2

Agora é só colocar na integral!

Passo 3

Para a fórmula do Teorema do Divergente,

∭ E ∇ ⋅ F → d V

Substituímos os valores

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 4 r 2 r d z d r d θ  

Organizando,

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 4 r 3 d z d r d θ  

Resolvendo de dentro para fora, teremos

∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 3 z r 2 4 d r d θ

Substituindo os limites de integração...

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ( 4 r 3 - r 5 ) d r d θ

Resolvendo...

∫ 0 2 π r 4 - r 6 6 0 2 d θ

Resolvendo a integral em relação a d θ (só colocar o θ )   e substituindo los limites de Integración, temos:

2 4 - 2 6 6 θ 0 2 π = 2 4 - 2 6 6 2 π

Organizando, chegaremos a

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 32 π 3

Show de bola! 😉

Resposta

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 32 π 3

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