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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 8.4 - Ex. 7 -c

7. Sejam f (x, y) e g (x, y) duas funções a valores reais, de classe C2, no aberto Ω de ℝ2. Seja γ : [a, b] → Ω uma curva regular, fechada, simples, orientada no sentido anti-horário, fronteira de um compacto K, com interior não vazio e contido em Ω; seja a normal exterior a K. Prove

∮ γ f ∂ f ∂ n →   d s =   ∫ ∫ k ( f   ∇ 2 f + | | ∇ f   | | 2   )   d x d y  

Passo 1

Te garanto que essa resolução é mais tranquila que você imagina. Nós vamos pegar um teorema da divergência e alterar apenas um pouquinho. Observe só. O enunciado diz que

∮ γ f ∂ f ∂ n →   d s =   ∫ ∫ k f ∇ 2 f + + | | ∇ f   | | 2 d x d y  

E sabemos que as derivadas direcionais ∂ g ∂ n → podem ser expressas da seguinte maneira

∂ f ∂ n → =   ∇ → f   .   n →

Então vamos reescrever nossa igualdade

∮ γ f ∇ → d   .   n →   d s =   ∫ ∫ k f ∇ 2 f + + | | ∇ f   | | 2 d x d y  

Passo 2

E também Podemos escrever que

∇   . ( f ∇ f ) =   f ∇ 2 f + ∇ f   .   ∇ f

∇   . f ∇ f =   f ∇ 2 f + + | | ∇ f   | | 2  

Logo reescrevendo nossa equação novamente

∮ γ f ∇ → f   .   n →   d s =   ∫ ∫ k ∇   .   ( f ∇ f )   d x d y  

Passo 3

Temos o teorema da divergência que diz

∫ γ F → . n → d s =   ∬ R ∇ . F →   d A

Se nossa função F for

F → =   f ∇ → f  

Isso satisfaz nossa equação. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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