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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 8.4 - Ex. 1-d

  1. Calcule ∫ γ F → . n → d s sendo dados ( para evitar repetição ficara subentendido que n → é unitário )

  F → x , y = x 2   i → ,     γ t = 2 cos ⁡ t ,   sin ⁡ t ,     0 ≤ t ≤ π

n → a normal com componente y ≥ 0

Passo 1

Nesse exercício precisaremos usar o seguinte teorema para resolver

∫ γ F → . n → d s =   ∬ R ∇ . F →   d A

Visto que nossa função F é

F → x , y = x 2   i →

E nossa região parametrizada é

  γ t = 2 cos ⁡ t , sin ⁡ t

Podemos calcular esse fluxo

Passo 2

Vamos usar a parte direita, a integral do divergente

∬ R ∇ . F →   d A

Então agora precisamos calcular o div F

∇ . F → = 2 x

Passo 3

Vamos unir o que calculamos na integração agora

∬ R ∇ . F →   d A

∬ R 2 x   d A

E como nossa região é uma elipse como mostra nossa função γ ( t )  

γ t = 2 cos ⁡ t , sin ⁡ t

Seria mais fácil se usássemos coordenadas polares para resolver esse problema. Lembrando que

x = a r cos ⁡ θ

y = b r s e n   θ

J = a b r

Sendo os nossos intervalos de integração

0 < r < 1

0 < θ < 2 π

Vamos agora integrar

∫ 0 2 π   ∫ 0 1 2 * 2 r cos ⁡ θ     2 r d r d θ

Primeiro vamos integrar em relação a θ      

∫ 0 1 2 * 2 r cos ⁡ θ     2 r d r *   sin ⁡ θ θ = 0 π

∫ 0 1 2 * 2 r cos ⁡ θ     2 r d r * 0 - 0

= 0

Quando temos um fluxo nulo significa que dentro da área que estamos observando a mesma quantidade de fluxo entra é a mesma que sai. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∬ R ∇ . F →   d A = 0

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