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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.9 - Ex. 8

Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ∬ c F → ⋅ d S → , ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = x 2 z 3 i → + 2 x y z 3 j → + x z 4 k →

S   é a superfície da caixa de vértices ( ± 1 , ± 2 ,   ± 3 )

Passo 1

Faaala minha galerinha. Beleza!?

Nosso objetivo é resolver a seguinte integral de superfície, utilizando o teorema do divergente:

∬ S F ∙   d S

Onde, temos:

F → x , y , z = x 2 z 3 i → + 2 x y z 3 j → + x z 4 k →

S   é a superfície da caixa de vértices ( ± 1 , ± 2 ,   ± 3 )

Primeiro, precisamos lembrar do teorema do divergente:

∬ S F ∙   d S = ∭ V d i v   F   d V

Esse teorema permite transformar a integral de superfície em uma integral tripla de volume.

Onde o d i v   F é:

d i v   F = d F x d x + d F y d y + d F z d z

Sendo,

F x , y , z = F x i + F y j + F z   k

Observe que devemos pegar cada componente ( i ,   j   e   k ) de F e derivar em relação a x , y   e   z .

Olhando para nossa região da caixa, temos que:

- 1 ≤ x ≤ 1 - 2 ≤ y ≤ - 2 - 3 ≤ z ≤ 3

Agora, eu vou deixar o resto com vocês. Basta fazer o divergente de F e aplicar tudo na integral tripla.

Bora lá gabaritar essa!

Passo 2

Vamos começar calculando o divergente, beleza!

Já sabemos que:

d i v   F = d F x d x + d F y d y + d F z d z

Também sabemos que:

F → x , y , z = x 2 z 3 i → + 2 x y z 3 j → + x z 4 k →

E,

F x , y , z = F x i + F y j + F z   k

Aplicando as derivadas, vamos ter que o divergente é:

d i v   F = ∂ ∂ x x 2 z 3 + ∂ ∂ y 2 x y z 3 + ∂ ∂ z x z 4

d i v   F = 2 x z 3 + 2 x z 3 + 4 x z 3

d i v   F = 8 x z 3

Logo, temos a seguinte integral:

∭ V 8 x z 3   d V

Sabemos, que o elemento infinitesimal de volume d V é:

d V = d x d y d z

E já vimos que os limites de integração são:

- 1 ≤ x ≤ 1 - 2 ≤ y ≤ - 2 - 3 ≤ z ≤ 3

Esses tipos de caso, repare que todos os integrandos possuem numerais. Logo tanto faz a ordem de integração.

Passo 3

Assim, nossa integral fica:

∫ - 3 3 ∫ - 2 2 ∫ - 1 1 ( 8 x z 3 ) d x d y d z  

Integrando primeiro em d x , vamos ter:

∫ - 3 3 ∫ - 2 2 8 x 2 z 3 2 - 1 1 d y d z

Aplicando os limites de integração:

∫ - 3 3 ∫ - 2 2   8 ( 1 ) 2 z 3 2 - 8 ( - 1 ) 2 z 3 2 d y d z

∫ - 3 3 ∫ - 2 2   8 z 3 2 - 8 z 3 2 d y d z

Observe que dá zero, logo concluímos que a integral de superfície pelo teorema do divergente é:

∬ S F ∙   d S = ∭ V d i v   F   d V = 0

Resposta

∬ S F ∙   d S = ∭ V d i v   F   d V = 0

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