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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.9 - Ex. 7

Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ∬ c F → ⋅ d S → , ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = e x s e n y i → + e x c o s y j → + y z 2 k →

S   é a superfície da caixa delimitada pelos planos x = 0 ,   x = 1 ,   y = 0 ,   y = 1 ,   z = 0   e   z = 2 .

Passo 1

Beleza turminha!? Vamos começar!

Nosso objetivo é resolver a seguinte integral de superfície, utilizando o teorema do divergente:

∬ S F ∙   d S

Onde, temos:

F → x , y , z = e x s e n y i → + e x c o s y j → + y z 2 k →

S   é a superfície da caixa delimitada pelos planos x = 0 ,   x = 1 ,   y = 0 ,   y = 1 ,   z = 0   e   z = 2 .

Primeiro, precisamos lembrar do teorema do divergente:

∬ S F ∙   d S = ∭ V d i v   F   d V

Esse teorema permite transformar a integral de superfície em uma integral tripla de volume.

Onde o d i v   F é:

d i v   F = d F x d x + d F y d y + d F z d z

Sendo,

F x , y , z = F x i + F y j + F z   k

Observe que devemos pegar cada componente ( i ,   j   e   k ) de F e derivar em relação a x , y   e   z .

Olhando para nossa região, temos que:

x = 0

x = 1

  y = 0

y = 1

  z = 0

z = 2

Essas informações são exatamente os intervalos de variação de cada variável. Vai ficar assim:

0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1 0 ≤ z ≤ 2

Agora, ficou fácil ein. Vou deixar o resto com você. Basta fazer o divergente de F e aplicar tudo na integral tripla.

Vamos nessa!

Passo 2

Vamos começar calculando o divergente, beleza!

Já sabemos que:

d i v   F = d F x d x + d F y d y + d F z d z

Também sabemos que:

F → x , y , z = e x s e n y i → + e x c o s y j → + y z 2 k →

E,

F x , y , z = F x i + F y j + F z   k

Aplicando as derivadas, vamos ter que o divergente é:

d i v   F = ∂ ∂ x e x s e n y + ∂ ∂ y e x c o s y + ∂ ∂ z y z 2

d i v   F = e x s e n y - e x s e n y + 2 y z

d i v   F = 2 y z

Logo, temos a seguinte integral:

∭ V 2 y z   d V

Sabemos, que o elemento infinitesimal de volume d V é:

d V = d x d y d z

E já vimos que os limites de integração são:

0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1 0 ≤ z ≤ 2

Nesse caso, repare que todos os integrandos possuem numerais. Logo tanto faz a ordem de integração.

Passo 3

Montando nossa integral, vamos ter:

∫ 0 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 2 y z d x d y d z  

Integrando em d x , vamos ter:

∫ 0 2 ∫ 0 1 2 y z   ( x ) 0 1   d y d z

Aplicando os limites de integração, ficamos com:

∫ 0 2 ∫ 0 1 2 y z   d y d z

Agora integrando em d y , temos:

∫ 0 2 2 z y 2 2 0 1 d z

Aplicando os limites, ficamos com:

∫ 0 2 z d z

Por fim, integrando em d z temos:

z 2 2 0 2

Novamente aplicando os limites de integração, ficamos com:

4 2 = 2

Logo, concluímos que a integral de superfície aplicando o teorema do divergente é:

∬ S F ∙   d S = 2

Resposta

∬ S F ∙   d S = 2

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