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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.9 - Ex. 12

Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ∬ c F → ⋅ d S → , ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = x 2 y i → + x y 2 j → + 2 x y z k →

S   é a superfície do tetraedro limitado pelos planos x = 0 ,   y = 0 ,   z = 0   e   x + 2 y + z = 2 .

Passo 1

E aiii galerinha, beleza!?

Nessa questão devemos resolver a seguinte integral de superfície, utilizando o teorema do divergente:

∬ S F ∙   d S

Onde, temos:

F → x , y , z = x 2 y i → + x y 2 j → + 2 x y z k →

S   é a superfície do tetraedro limitado pelos planos x = 0 ,   y = 0 ,   z = 0   e   x + 2 y + z = 2 .

Primeiro, precisamos lembrar do teorema do divergente:

∬ S F ∙   d S = ∭ V d i v   F   d V

Esse teorema permite transformar a integral de superfície em uma integral tripla de volume.

Onde o d i v   F é:

d i v   F = d F x d x + d F y d y + d F z d z

Sendo,

F x , y , z = F x i + F y j + F z   k

Observe que devemos pegar cada componente ( i ,   j   e   k ) de F e derivar em relação a x , y   e   z .

Olhando para nossa região, temos que:

x = 0

  y = 0

  z = 0

  x + 2 y + z = 2

O segredo para achar os intervalos nesse tipo de situação, é ir manipulando essas equações substituindo uma na outra. Desse jeito:

Quando z = 0 , vamos ter:

x + 2 y + ( 0 ) = 2

x = 2 - 2 y

Quando x = 0 , temos:

0 = 2 - 2 y

y = 1

Isolando z na equação:

x + 2 y + z = 2

z = 2 - x - 2 y

Observe que já conseguimos achar nossos intervalos. Pois já sabemos que eles começam em x = y = z = 0 , o problema nos forneceu.

Vai ficar assim:

0 ≤ x ≤ 2 - 2 y 0 ≤ y ≤ 1 0 ≤ z ≤ 2 - x - 2 y

Agora vou deixar o resto com você. Basta fazer o divergente de F e aplicar tudo na integral tripla.

Bora lá!!

Passo 2

Turminha, vamos começar achando o divergente.

Já vimos que nossa integral tem a cara:

∬ S F ∙   d S = ∭ V d i v   F   d V

E sabemos que o divergente é:

d i v   F = d F x d x + d F y d y + d F z d z

Sabemos que:

F → x , y , z = x 2 y i → + x y 2 j → + 2 x y z k →

E,

F x , y , z = F x i + F y j + F z   k

Aplicando as derivadas, vamos ter que o divergente é:

d i v   F = ∂ ∂ x x 2 y + ∂ ∂ y x y 2 + ∂ ∂ z 2 x y z

d i v   F = 2 x y ( 2 + z )

Logo, temos a seguinte integral:

∭ V 2 x y ( 2 + z )   d V

Já vimos que os limites de integração são:

0 ≤ x ≤ 2 - 2 y 0 ≤ y ≤ 1 0 ≤ z ≤ 2 - x - 2 y

E o diferencial de volume vai ser:

d V = d z d x d y

Aqui tem que tomar muito cuidado, porque é muito importante a ordem de integração.

Devemos integrar primeiro em dz, porque repare que ele depende das duas variáveis ( x   e   y ) . Depois integrar em d x , porque ele depende da variável ( y ) , e por fim, integrar em d y que depende apenas de numerais.

Agora é só colocar na integral!

Passo 3

Substituindo na integral, vamos ter:

∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 y ∫ 0 2 - x - 2 y 2 x y 2 + z d z d x d y

Integrando primeiro em d z , temos:

∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 y 2 x y 2 z + z 2 2 0 2 - x - 2 y d x d y

Aplicando os limites de integração vamos ter:

∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 y 2 x y 4 - 2 x - 4 y + 2 - x - 2 y 2 2 d x d y

Resolvendo a expressão ao quadrado e simplificando, temos:

∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 y x 3 y + 4 x 2 y 2 - 8 x 2 y + 4 x y 3 - 16 x y 2 + 12 x y   d x d y

Integrando em d x vamos ter:

∫ 0 1 x 4 y 4 + 4 x 3 y 2 3 - 8 x 3 y 3 + 2 x 2 y 3 - 8 x 2 y 2 + 6 x 2 y 0 2 - 2 y d y

Aplicando os limites de integração vamos ficar com:

∫ 0 1 2 - 2 y 4 y 4 + 4 2 - 2 y 3 y 2 3 - 8 2 - 2 y 3 y 3 + 2 2 - 2 y 2 y 3 - 8 2 - 2 y 2 y 2 + 6 2 - 2 y 2 y d y

Repare que deu uma expressão bem grande, e não tem o que fazer, é isso mesmo.

Agora vamos resolver alguns termos e simplificar. Vai ficar assim:

∫ 0 1 8 y 5 - 48 y 4 + 96 y 3 - 80 y 2 + 4 y 2 - 2 y + 2 3 3 + y - 2 y + 2 4 4 + 24 y - 8 y - 2 y + 2 3 3   d y

Passo 4

Por fim, ficamos com essa integral em d y para resolver.

Observe que não é uma integral difícil, mas bem chatinha de fazer a mão pois tem muitos termos.

Para resolver a mão e evitar erros, deveríamos expandir as expressões que estão elevados ao cubo e na quarta potência, porem teremos uma expressão gigantesca.

Vamos utilizar o WolframAlpha, ele vai nos ajudar com essa integral.

Use o seguinte input:

Integrate[(8y^5-48y^4+96y^3-80y^2+4y^2 (-2y+2)^3/3+y (-2y+2)^4/4+24y - 8y(-2y+2)^3/3),{y,0,1}]

Vai ficar assim:

Logo, temos que a integral pelo método do divergente é:

∭ V d i v   F   d V = 14 45

Resposta

∭ V d i v   F   d V = 14 45

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