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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.9 - Ex. 5

Verifique que o Teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial F → na região E .

F → x , y , z = x y i → + y z j → + z x k → , E   é cilindro sólido x 2 + y 2 ≤ 1 , 0 ≤   z ≤ 1 .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? O exercicio pede para que a gente verifique que o Teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial F → na região E .

Sendo:

F → x , y , z = x y i → + y z j → + z x k →

e

E   é cilindro sólido x 2 + y 2 ≤ 1 , 0 ≤   z ≤ 1 .

Pelo Teorema da Divergência temos:

∬ S F → ⋅ d S → = ∭ E ∇ ⋅ F → d V

Logo, precisamos que os dois lados sejam de fato iguais.

Para o lado direito iremos calcular o divergente do campo pela fórmula:

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

Depois teremos que achar os limites de integração, mas antes teremos que parametrizar a função em coordenadas cilíndricas.

Feito isso podemos calcular o valor do lado direito.

Depois iremos fazer o lado esquerdo , nesse caso teremos que achar o produto escalar entre:

F → ⋅ n →

Onde n → = k → = ( 0,0 , 1 ) .

Aqui também teremos que parametrizar e achar os limites de integração.Feito isso , só basta integrar e achar o valor.

Com as duas integrais feitas iremos verificar se seus valores são iguais.Quando a sentença é verdadeira logo está de acordo com o teorema da divergência.

Passo 2

Vamos começar calculando o divergente de F → x , y , z = x y i → + y z j → + z x k → .

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

Em relação a x :

→ ∂ ∂ x F x = ∂ ∂ x ( x y )

∂ ∂ x ( x y ) = y

Em relação a y :

→ ∂ ∂ y F y = ∂ ∂ y ( y z )

∂ ∂ y ( y z ) = z

Em rela��ão a z :

→ ∂ ∂ z ( F z ) = ∂ ∂ z ( z x )

∂ ∂ z ( z x ) = x

Logo:

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x x y + ∂ ∂ y z y + ∂ ∂ z z x = y + z + x

Passo 3

Legal!

O próximo passo é saber qual é a região E . É um cilindro sólido, então em coordenadas cilíndricas temos

x = r c o s θ

y = r s e n θ

z = z

No plano x y , temos um círculo de raio 1 :

x 2 + y 2 ≤ 1 e 0 ≤   z ≤ 1

então temos o intervalo:

{ 0 ≤ r ≤ 1   0 ≤ θ ≤ 2 π   0 ≤ z ≤ 1  

E o elemento de volume é d V = r d z d r d θ

E o divergente em coordenadas cilíndricas é: 3 r c o s θ + 1

Substituindo na integral:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( r s e n θ + r c o s θ + z ) r d z d r d θ

Agora podemos calcular o valor de ∭ E ∇ ⋅ F → d V :

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( r s e n θ + r c o s θ + z ) r d z d r d θ

Fazendo a distributiva:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( r 2 s e n θ + r 2 c o s θ + r z )   d z d r d θ

Vamos resolver então:

∫ 0 1 ( r 2 s e n θ + r 2 c o s θ + r z )   d z

  ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 s e n θ z + r 2 c o s θ z + r z 2 2 0 1 d r d θ

Agora a próxima:

∫ 0 1 r 2 s e n θ z + r 2 c o s θ z + r z 2 2 0 1 d r

∫ 0 2 π r 3 s e n θ 3 + r 3 3 c o s θ + r 2 2.2 0 1 d θ

Simplificando temos:

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ 0 2 π 1 3 s e n θ + 1 3 c o s θ + 1 4 d θ

Lembrando que integrar seno ou cosseno em um período completo é zero, então só sobrou o último termo:

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ 0 2 π 1 4 d θ = 1 4 . 2 π = π 2

Logo:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( r s e n θ + r c o s θ + z ) r d z d r d θ = π 2

Certo! Agora temos que calcular para o outro lado!

Passo 4

Agora vamos calcular o lado esquerdo. Temos que considerar três superfícies: o topo e a base do cilindro e a área lateral.

No topo:

O campo é F = x y ,   y ,   x e o vetor normal é n → = k → = ( 0,0 , 1 )

O produto escalar entre F → e n → é:

F → ⋅ n → = x y ,   y ,   x ⋅ 0,0 , 1 = x

A região projetada no plano x y é um círculo de raio 1 . Em coordenadas polares x = r c o s θ ,   y = r s e n θ . O elemento de área vai ser d A = r d r d θ com os limites:

{ 0 ≤ r ≤ 1   0 ≤ θ ≤ 2 π  

E fazendo a integral ∬ S F → ⋅ d S → :

∬ S F → ⋅ d S → = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( r 2 c o s θ ) d r d θ = ∫ 0 2 π r 3 3 c o s θ 0 1 d θ = 1 3 ∫ 0 2 π c o s θ d θ = 0

No fundo:

O campo é F = x y ,   y ,   x e o vetor normal é n → = k → = ( 0,0 , - 1 ) . Em z = 0 temos: F → = ( x y , 0,0 )

O produto escalar entre F → e n → é:

F → ⋅ n → = x y ,   0,0 ⋅ 0,0 , - 1 = 0

Então para a base:

∬ S F → ⋅ d S → = 0

Agora para a lateral.

A curva pode ser parametrizada por:

r → θ , z = c o s θ i → + s e n θ j → + z k →

E o vetor normal a essa superfície vai ser n → = r θ × r z

Daí temos:

r z = ( 0 ,   0 ,   1 )

r θ = ( - s e n θ ,   c o s θ ,   0 )

E o produto vetorial entre eles é:

r θ × r z = i →   j →   k →   - s e n θ   c o s θ   1   0   0   1   = i → c o s θ + j → s e n θ + k → ( 0 )

Então o vetor normal é: n → = ( c o s θ , s e n θ ,   0 )

E o campo na nova parametrização: F → = ( c o s θ s e n θ ,   s e n θ z ,   c o s θ z )

E o produto escalar entre F → e n → : F → ⋅ n → = c o s θ s e n 2 θ z + s e n 2 θ z

Na região:

{ 0 ≤ z ≤ 1   0 ≤ θ ≤ 2 π  

E o elemento de área vai ser: d A = d z d θ

Passo 5

Agora vamos jogar tudo isso na integral!

∬ S F → ⋅ d S → = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 c o s θ s e n 2 θ z + s e n 2 θ z d z d θ

Podemos reescrevê-la da seguinte forma:

∫ 0 2 π s e n θ θ   d θ + ∫ 0 2 π s e n 2 θ 2 d θ

Resolvendo:

- 1 3 θ   0 2 π + θ 4 0 2 π - 1 8 s e n 2 θ 0 2 π = 2 π 4 = π 2

Assim

∫ 0 2 π ∫ 0 1 c o s θ s e n 2 θ z + s e n 2 θ z d z d θ = π 2

Sabemos que no passo 3 deu:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( r s e n θ + r c o s θ + z ) r d z d r d θ = π 2

Agora comparando os resultados dos passos 3   e   5   vemos que deu o mesmo resultado!

Então verificamos o teorema =D

∬ S F → ⋅ d S → = ∭ E ∇ ⋅ F → d V = π 2

Resposta

∬ S F → ⋅ d S → = ∭ E ∇ ⋅ F → d V = π 2

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