Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.9 - Ex. 6

Verifique que o Teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial F → na região E .

F → x , y , z = x i → + y j → + z k → , E   é a bola unitária x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pelo Teorema da Divergência temos:

∬ S F → ⋅ d S → = ∭ E ∇ ⋅ F → d V

Sendo assim, vamos testar dos dois lados.

Passo 2

Começando pelo lado direito.

Vamos calcular o divergente do campo F → :

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x x + ∂ ∂ y y + ∂ ∂ z z = 3

Passo 3

Legal! O próximo passo é saber qual é a região E . É uma esfera de raio 1 .

Agora podemos calcular o valor de ∭ E ∇ ⋅ F → d V :

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∭ E 3 d V = 3.4 π 3 = 4 π

Certo! Agora temos que calcular para o outro lado!

Passo 4

Agora vamos calcular o lado esquerdo. Como a região a ser considerada é uma esfera, um vetor normal à ela é n → = 3 k → . Vou considerar primeiro a parte de cima.

O campo é F = x , y , z .

O produto escalar entre F → e n → é:

F → ⋅ n → = x , y , z ⋅ 0,0 , 3 = z = 3 1 - r 2

A região projetada no plano x y é um círculo de raio 2 . Em coordenadas polares x = r c o s θ ,   y = r s e n θ . O elemento de área vai ser d A = r d r d θ com os limites:

0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2 π

E fazendo a integral ∬ S F → ⋅ d S → :

∬ S F → ⋅ d S → = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 3 1 - r 2 d r d θ = - ∫ 0 2 π 3 1 - r 2 3 / 2 3 0 1 d θ = 3 3 ∫ 0 2 π d θ = 2 π

Para a parte inferior é igual, então temos que adicionar mais 2 π ao fluxo total.

∬ S F → ⋅ d S → = 2.2 π = 4 π

∬ S F → ⋅ d S → = ∭ E ∇ ⋅ F → d V = 4 π

Então verificamos o teorema =D

Resposta

∬ S F → ⋅ d S → = ∭ E ∇ ⋅ F → d V = 4 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um sólido ocupa a região E com superfície S e está imerso em um líquido com densidade constante ρ . Escolhemos um sistema de coordenadas de modo que o plano x y coincida com a superfície do liquido e
A figura mostra um campo vetorial F → . Use a interpretação do divergente deduzida nessa seção para determinar se d i vF → é positivo ou negativo em P 1 e P 2
Os pontos P 1 e P 2 são fontes ou sorvedouros no campo vetorial F → mostrado na figura? Dê uma explicação baseada exclusivamente na figura.Dado que F → x , y = x , y 2 , use a definição de divergente
Use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície ∯ S F → ⋅ d S → ∯ ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S . F → x , y , z = x y e 2 i ^ + x y 2 z 3 j ^ - y e z k ^ , S é a su
Verifique se o teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial F → na região E . F → x , y , z = ( z ,y ,x ) , E é a bola sólida x 2 + y 2 + z 2 ≤ 16 .