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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 16.9 - Ex. 8

Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ∬ c F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = x 3 y   i - x 2 y 2   j - x 2 y z   k

S   é a superfície do sólido delimitado pelo hiperbolóide x 2 + y 2 - z 2 = 1 e pelos planos z = - 2 e z = 2

Passo 1

Fala pessoa, o problema quer que a gente use o Teorema do Divergente

∬ s F ⋅ d S = ∭ E D i v F d V

para calcular a integral de superfície ∬ c F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = x 3 y   i - x 2 y 2   j - x 2 y z   k

Onde S   é a superfície do sólido delimitado pelo hiperbolóide x 2 + y 2 - z 2 = 1 e pelos planos z = - 2 e z = 2 .

Como queremos achar o ∬ s F ⋅ d S a ideia vai ser achar o D i v ( F ) e calcular a integral tripla, beleza?

O D i v ( F ) calculamos pela seguinte fórmula:

D i v ( F ) = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

Essa será a primeira coisa que vamos fazer.

Depois teremos que achar os limites de integração, e resolver a integral.

Passo 2

Vamos começar calculando o divergente de F → x , y , z = x 3 y   i - x 2 y 2   j - x 2 y z   k .

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

Em relação a x :

→ ∂ ∂ x F x = ∂ ∂ x ( x 3 y )

∂ ∂ x ( x 3 y ) = 3 x   y

Em relação a y:

→ ∂ ∂ y F y = ∂ ∂ y ( - x 2 y 2 )

∂ ∂ y ( - x 2 y 2 ) = 2 x 2 y

Em relação a z:

→ ∂ ∂ z ( F z ) = ∂ ∂ z ( - x 2 y z )

∂ ∂ z ( - x 2 y z ) = - x 2 y

Logo:

∂ ∂ x x 3 y + ∂ ∂ y - x 2 y 2 + ∂ ∂ z - x 2 y z = 3 x 2 y - 2 x 2 y - x 2 y

Fazendo as contas:

D i v F = 3 x 2 y - 3 x 2 y = 0

Passo 3

Que maravilha, como

D i v F = 0

Ao substituirmos na integral iremos encontrar que:

∬ s F ⋅ d S = ∭ E D i v F d V

Como D i v F = 0 :

∬ s F ⋅ d S = 0

Resposta

0

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Use o Teorema do Divergente para calcular ∬ S F → ⋅ d S → , onde F → x , y , z = z 2 xi → +y 3 3 + t g z j → + x 2 z + y 2 k → e Sé é a metade de cima da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 . (Sugestão: observ
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