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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.2 - Ex. 30

(a) Calcule a integral de linha ∫ C F   .   d r , onde

F → x ,   y ,   z = x   i ^ - z   j ^ + y   k ^ e C é dada por r t = 2 t   i ^ + 3 t   j ^ - t 2   k ^ ,     - 1 ≤ t ≤ 1

(b) Ilustre a parte (a) utilizando um computador para desenhar C e os vetores do campo vetorial correspondentes a t = ± 1 e ± 1 2 (como na Figura 13 ).

Passo 1

E aii, galera!

Essa questão ta pedindo duas coisas pra gente

Primeiro, precisamos calcular uma integral de linha de um campo vetorial F → sobre uma curva C .

Depois, vamos desenhar essa curva e alguns vetores de F → usando um software (no nosso caso, vai ser o GeoGebra).

Pra calcular a integral de linha, vamos usar:

∫ C F → ∙ d r → = ∫ a b F → r → t ∙ r ' → t   d t

Onde r → t ,   a ≤ t ≤ b é uma parametrização de C .

Pro desenho, vamos calcular quais são os pontos e os vetores correspondentes a cada valor de t = ± 1 e ± 1 2 . Depois, jogamos tudo no GeoGebra!

Passo 2

(a)

Vamos calcular F → r → t .

F → = x , - z , y

r → = 2 t , 3 t , - t 2

Então, vamos substituir x = 2 t , y = 3 t , z = - t 2 na expressão de F → :

F → r → t = 2 t , t 2 , 3 t

Já para r ' → t , vamos derivar cada uma das componentes de r → em função de t :

r ' → t = 2,3 , - 2 t

Então, a integral é:

∫ C F → ∙ d r → = ∫ - 1 1 F → r → t ∙ r ' → t   d t

= ∫ - 1 1 2 t , t 2 , 3 t ∙ 2,3 , - 2 t   d t

Vamos multiplicar as coordenadas correspondentes e somar, para calcular o produto escalar:

= ∫ - 1 1 2 t ∙ 2 + t 2 ∙ 3 + 3 t ∙ - 2 t   d t

= ∫ - 1 1 4 t - 3 t 2   d t

Passo 3

Calculando a integral:

∫ - 1 1 4 t - 3 t 2   d t =

= 4 t 2 2 - 3 t 3 3 - 1 1 =

Então:

= 4 ∙ 1 2 - 3 ∙ 1 3 - 4 ∙ - 1 2 2 - 3 ∙ - 1 3 3 =

= 2 - 1 - 2 - 1

E achamos o valor da integral:

∫ C F → ∙ d r → = - 2

Passo 4

(b)

Agora vamos calcular os valores de F → para t = ± 1 e ± 1 2 .

Primeiro calculamos r → t , depois aplicamos esse resultado em F → .

Para t = - 1 :

r → - 1 = - 2 , - 3 , - 1

F → = - 2,1 , - 3

Para t = 1 :

r → 1 = 2,3 , - 1

F → = 2,1 , 3

Para t = - 1 2 :

r → - 1 2 = - 1 , - 3 2 , - 1 4

F → = - 1 , 1 4 , - 3 2

Para t = 1 2 :

r → 1 2 = 1 , 3 2 , - 1 4

F → = 1 , 1 4 , 3 2

Passo 5

Os comandos que vamos usar no GeoGebra são:

Pros vetores, precisamos inserir o ponto inicial, que é r → t e o ponto final, que é r → t + F → r → t para cada valor de t .

Resposta

(a)

∫ C F → ∙ d r → = - 2

(b)

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