Uma partícula inicialmente no ponto ( - 2 ,   0 ) se move ao longo do eixo x até ( 2 ,   0 ) e então ao longo da semicircunferência y = 4 - x 2 até o ponto inicial. Utilize o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado nessa partícula pelo campo de força F x , y = x , x 3 + 3 x y 2 .

Passo 1

Oii, amigos! Tudo bem?

A questão pede que a gente use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado por uma partícula que sai do ponto ( - 2 ,   0 ) se move ao longo do eixo x até ( 2 ,   0 ) e então ao longo da semicircunferência y = 4 - x 2 até o ponto inicial pelo campo de força:

F x , y = x , x 3 + 3 x y 2

Temos uma curva C fechada e pela descrição, está orientada positivamente, então podemos aplicar tranquilamente o Teorema de Green para calcular o trabalho

W = ∫ C F ⋅ d r = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Aqui, Q e P são as componentes da nossa função campo de força:

P = x

Q = x 3 + 3 x y 2

Então, precisamos calcular as derivadas parciais dessas componentes, aplicar na equação da integral dupla, achar os limites de integração e calcular a integral de dentro pra fora, como estamos acostumados.

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais:

Derivando em x , tratando y como constante:

∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x x 3 + 3 x y 2 = 3 x 2

Derivando em y , tratando x como constante:

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y x = 0

Substituindo na nossa equação do Teorema de Green:

∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A = ∬ D ( 3 x 2 + 3 y 2 ) d A

Passo 3

Já temos nossa integral dupla! Agora só faltam os limites de integração dela! Vamos tirar esse limite da região D que é limitada pela curva C :

semicircunferência y = 4 - x 2

Reescrevendo, temos:

x 2 + y 2 = 2 2

Podemos usar coordenadas polares para resolver a integral, com a variação

0 ≤ r ≤ 2

Como temos apenas a semicircunferência o ângulo vai só até π

0 ≤ θ ≤ π

Como em coordenadas polares temos:

x 2 + y 2 = r 2

E:

d A = r   d r   d θ

A integral fica

∬ D 3 x 2 + 3 y 2 d A = ∫ 0 π ∫ 0 2 3 r 2 r   d r d θ

Separando a integral em uma multiplicação de integrais, cada qual com sua variável de integração:

= 3 ∫ 0 π d θ ∫ 0 2 r 3   d r = 3 π 2 4 4

Então:

W = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A = 12 π

Resposta

12 π

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