Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.4 - Ex. 18
Uma partícula inicialmente no ponto se move ao longo do eixo x até e então ao longo da semicircunferência até o ponto inicial. Utilize o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado nessa partícula pelo campo de força .
Passo 1
Oii, amigos! Tudo bem?
A questão pede que a gente use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado por uma partícula que sai do ponto se move ao longo do eixo x até e então ao longo da semicircunferência até o ponto inicial pelo campo de força:
Temos uma curva fechada e pela descrição, está orientada positivamente, então podemos aplicar tranquilamente o Teorema de Green para calcular o trabalho
Aqui, e são as componentes da nossa função campo de força:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais dessas componentes, aplicar na equação da integral dupla, achar os limites de integração e calcular a integral de dentro pra fora, como estamos acostumados.
Bora lá!
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas parciais:
Derivando em , tratando como constante:
Derivando em , tratando como constante:
Substituindo na nossa equação do Teorema de Green:
Passo 3
Já temos nossa integral dupla! Agora só faltam os limites de integração dela! Vamos tirar esse limite da região que é limitada pela curva :
semicircunferência
Reescrevendo, temos:
Podemos usar coordenadas polares para resolver a integral, com a variação
Como temos apenas a semicircunferência o ângulo vai só até
Como em coordenadas polares temos:
E:
A integral fica
Separando a integral em uma multiplicação de integrais, cada qual com sua variável de integração:
Então: