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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.4 - Ex. 31

Utilize o Teorema de Green para demonstrar a fórmula de mudança de variáveis para as integrais duplas (Fórmula 15.9.9) para o caso onde f x , y = 1 :

∬ R d x   d y = ∬ S ∂ x , y ∂ u , v d u   d v

Aqui, R é a região do plano x y que corresponde à região S do plano u v sob a transformação dada por x = g u ,   v ,   y = h ( u ,   v ) .

[Sugestão: observe que o lado esquerdo é A ( R ) e aplique a primeira parte da Equação 5. Converta a integral de linha sobre ∂ R para uma integral sobre ∂ S e aplique o Teorema de Green no plano u v .]

Passo 1

E aí, galera! Tudo bem?

A questão pede para usarmos o Teorema de Green:

∫ C P   d x + Q   d y = ∬ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Para demonstrar a igualdade:

∬ R d x   d y = ∬ S ∂ x , y ∂ u , v d u   d v

Onde R é a região do plano x y que corresponde à região S do plano u v sob a transformação dada por x = g u ,   v ,   y = h ( u ,   v ) .

Aqui, vamos usar o procedimento que o próprio enunciado já nos deu como sugestão. Retomando: Observamos que o lado esquerdo é A ( R ) e aplicamos a primeira parte da Equação 5, que é:

∮ ∂ R x   d y

Depois convertemos a integral de linha sobre ∂ R para uma integral sobre ∂ S e aplicamos o Teorema de Green no plano u v .

Vamos ver como fica!

Passo 2

Como sugerido, vamos pegar a parte da esquerda e aplicar (5)

∬ R d x   d y = A R = ∮ ∂ R x   d y

Mudando de variáveis,

x = g u ,   v

Para encontrar o diferencial d y vamos usar a regra da cadeia

d y = ∂ h ∂ u d u + ∂ h ∂ v d v

considerando que ∂ S no plano x y é a correspondente a ∂ R no plano u v :

∮ ∂ R x   d y = ∮ ∂ S g u ,   v   ∂ h ∂ u d u + ∂ h ∂ v d v

Multiplicando g u ,   v para dentro da soma na integral:

= ∮ ∂ S g u ,   v ∂ h ∂ u d u + g u ,   v ∂ h ∂ v d v

Passo 3

Agora vamos usar o Teorema de Green:

∮ ∂ S g u ,   v ∂ h ∂ u d u + g u ,   v ∂ h ∂ v d v = ∬ S ∂ ∂ u g u ,   v ∂ h ∂ v - ∂ ∂ v g u ,   v ∂ h ∂ u d Ã

Onde d à = d u   d v

Calculando a primeira derivada:

∂ ∂ u g u ,   v ∂ h ∂ v = ∂ g ∂ u ∂ h ∂ v + g u ,   v ∂ ∂ u ∂ h ∂ v

Agora a derivada do segundo termo:

∂ ∂ v g u ,   v ∂ h ∂ u = ∂ g ∂ v ∂ h ∂ u + g u ,   v ∂ ∂ v ∂ h ∂ u

Subtraindo as duas:

∂ ∂ u g u ,   v ∂ h ∂ v - ∂ ∂ v g u ,   v ∂ h ∂ u

Distribuindo o termo por fora dos parênteses para dentro:

= ∂ g ∂ u ∂ h ∂ v + g u ,   v ∂ ∂ u ∂ h ∂ v - ∂ g ∂ v ∂ h ∂ u + g u ,   v ∂ ∂ v ∂ h ∂ u

Podemos notar que:

∂ ∂ u ∂ h ∂ v = ∂ ∂ v ∂ h ∂ u

Que se cancelam e ficamos com:

∂ ∂ u g u ,   v ∂ h ∂ v - ∂ ∂ v g u ,   v ∂ h ∂ u = ∂ g ∂ u ∂ h ∂ v - ∂ g ∂ v ∂ h ∂ u

Passo 4

Usando 15.9.7:

∂ g ∂ u ∂ h ∂ v - ∂ g ∂ v ∂ h ∂ u = ∂ g , h ∂ u , v  

Como x = g u ,   v ,   y = h u ,   v temos

∂ ∂ u g u ,   v ∂ h ∂ v - ∂ ∂ v g u ,   v ∂ h ∂ u = ∂ x , y ∂ u , v  

Substituindo na integral:

∬ S ∂ ∂ u g u ,   v ∂ h ∂ v - ∂ ∂ v g u ,   v ∂ h ∂ u d à = ∬ S ∂ x , y ∂ u , v d u   d v

Como:

∬ R d x   d y = ∬ S ∂ ∂ u g u ,   v ∂ h ∂ v - ∂ ∂ v g u ,   v ∂ h ∂ u d Ã

Mas com as variáveis trocadas, logo:

∬ R d x   d y = ∬ S ∂ x , y ∂ u , v d u   d v

Resposta

Demonstração.

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