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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.4 - Ex. 16

Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)

F x , y = y - ln ⁡ x 2 + y 2 , 2 tg - 1 ⁡ ( y / x )

C é a circunferência ( x - 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 1 , orientada no sentido anti-horário

Passo 1

Fala, galerinha! Tudo na paz?

Nossa questão aqui pede para usarmos o teorema de Green para calcular a integral de linha:

∫ C F ⋅ d r

Do campo vetorial:

F x , y = y - ln ⁡ x 2 + y 2 , 2 tg - 1 ⁡ ( y / x )

Onde C é a circunferência ( x - 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 1 , no sentido anti-horário

Bom, para acharmos o valor da integral de linha usando o Teorema de Green, temos que resolver a equação:

∫ C F ⋅ d r = ∮ C P   d x + Q   d y = ∬ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Onde as funções P e Q são as funções componentes de F x , y :

F → = P x , y i ^ + Q ( x , y ) j ^

Aqui no nosso caso, temos:

P = y - ln ⁡ x 2 + y 2

E:

Q = 2 tg - 1 ⁡ y x    

Veja na equação do nosso teorema que precisamos calcular as derivadas parciais:

∂ Q ∂ x   e   ∂ P ∂ y

Então esse vai ser nosso primeiro passo!

Vem comigo!

Passo 2

Vamos começar pelas derivadas parciais:

Q x , y = 2 tg - 1 ⁡ y x   . Derivando em relação a x e tratando y como constante:

∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x 2 tg - 1 ⁡ y x   = 2 1 + y x 2 - y x 2

P x , y = y - ln ⁡ x 2 + y 2 . Derivando em relação a y e tratando x como constante:

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y y - ln ⁡ x 2 + y 2 = - 1 x 2 + y 2 2 y

Substituindo na equação do Teorema de Green:

∬ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A = ∬   2 1 + y x 2 - y x 2 - 1 + 1 x 2 + y 2 2 y d A

Note que se subtraírmos esses termos dentro do parênteses, só nos sobra:

∬ D - 2 y x 2 + y 2 - 1 + 2 y x 2 + y 2   d A = - ∬ D d A

Mas lembra que a integral dupla de d A em D   nada mais é que que a própria área de D que é limitada pela curva C ?

- ∬ D d A = - A ( D )

Então, pra resolver essa questão aqui vamos precisar calcular a área limitada por:

( x - 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 1

Como D é uma circunferência de raio 1 , independente de ela estar deslocada a área da circunferência é dada por:

A D = π r 2

Então, com r = 1

A D = π 1 2 = π

Então:

∫ C F ⋅ d r = - π

Resposta

∫ C F ⋅ d r = - π

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